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Exercice racines carrées difficile ou subtile

Posté par
teddytickles 12-10-13 à 19:38

Bonjour,
J'ai vraiment du mal à faire cet exercice:

1) Soit A = \sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}
Montrer que A2 appartient aux nombres entiers naturels et donner une écriture simplifiée de A.

J'ai essayer d'utiliser les identités remarquable mais je suis coincé, si quelqu'un pourrai me donner une piste.

2) Montrer que C = \sqrt{1+2002\sqrt{1+2003\times2005}} est un nombre entier naturel.

Alors pour celui je sèche vraiment.

Si quelqu'un pourrais me donner une piste, un indice pour réussir à faire cette exercice...

Bonne journée et merci d'avance.
Note: J'ai mis ce topic dans la section 3ème car il n'y a pas de section identité remarquable pour les secondes.

Posté par
toriore : Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 19:47

pour 1 :

calculer A^2  avec  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2  et cela sort naturellement.





pour 2 :

Poser  x = 2004


alors 2002 = x-2
2003 = x-1
et 2005 = x+1

ensuite simplifier

Posté par
teddyticklesRe: Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 21:58

Merci de m'avoir aidé, mais pour le 1:

A = \sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}
A = 9-4\sqrt{5} + 2\sqrt{9-4\sqrt{5}}\times\sqrt{9+4\sqrt{5}} + 9+4\sqrt{5}

Je ne sais pas comment calculer:
2\sqrt{9-4\sqrt{5}}\times\sqrt{9+4\sqrt{5}}
Je me suis vraiment entêté, j'ai essayé des identité remarquable, mais je n'ai vraiment pas réussi.

Si quelqu'un pourrait m'éclairer!

Posté par
mathafou Moderateurre : Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 22:23

Bonsoir,

\sqrt{A}\times\sqrt{B} = \sqrt{A \times B}
et ensuite sous le radical, identité remarquable

Posté par
teddyticklesre : Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 22:23

J'ai en fin de compte compris qu'il fallait faire une sorte de double distributivité avec les fractions:
A² = \sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}
A² = 9-4\sqrt{5} + 2\sqrt{9-4\sqrt{5}}\times\sqrt{9+4\sqrt{5}} + 9+4\sqrt{5}
A² = 18 + 2\sqrt{81+36\sqrt{5}-36\sqrt{5}-16\times5}
A² = 18 + 2\sqrt{1}
A² = 20

Mais ensuite, dans l'exercice, il faut proposer une écriture simplifier de A.

A = \sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}

Mais pour moi, A est déjà simplifié.

Posté par
mathafou Moderateurre : Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 22:30

Citation :
double distributivité avec les fractions:
?? quelles fractions ??
Il n'y a pas de double distributivité non plus mébon, tu fais comme tu le sens pour calculer (A+B)(A-B) hein... si ça te plait de redémontrer les identités ramarquables

Tu as bien obtenu A² = 20 et donc A = \sqrt{20} est tout de même plus simple que le fatras de départ avec des racines partout !!

et même ce \sqrt{20} ça se simplifie encore !
c'est ça qui est attendu.

Posté par
teddyticklesRe: Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 23:07

Désolé de mettre exprimé trop vite. Je voulais dire, double distributivité avec les racines carrées.

Merci pour ton conseil mathafou.
Le pire, c'est que c'est tellement logique.

Écriture simplifiée de A:
A²=20
A=\sqrt{20}
A=\sqrt{2²\times5}
A=2\sqrt{5}

Merci beaucoup pour votre aide.

2) C=\sqrt{1+2002\sqrt{1+2003\times2005}}
Soit X=2004
C=\sqrt{1+(X-2)\sqrt{1+(X-1(X+1)}}
C=\sqrt{1+(X-2)\sqrt{X²}}
C=\sqrt{1-2X+X²)}
C=\sqrt{(X-1)²)}
C=2400-1
C=2300

Dites-le moi si j'ai tort s'il vous plaît!

Merci à tous pour votre aide si important pour moi.

Posté par
mathafou Moderateurre : Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 23:32

c'est bien ça, mais juste que 2400 - 1 ne fait pas 2300

Posté par
mathafou Moderateurre : Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 23:33

de toute façon c'est pas 2400 non plus X = 2004

Posté par
teddyticklesRe: Exercice racines carrées difficile ou subtile 12-10-13 à 23:43

Ah oui, désolé, je me suis trompé. En voulant aller trop vite...
Donc:

C=\sqrt{1+2002\sqrt{1+2003\times2005}}
Soit X=2004
C=\sqrt{1+(X-2)\sqrt{1+(X-1(X+1)}}
C=\sqrt{1+(X-2)\sqrt{X²}}
C=\sqrt{1-2X+X²)}
C=2004-1
C=2003

Bonne soirée.


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