Bonjour,
0 U_n 1
0 U_n^3/3 1/3 (la fonction cube est croissante)
et tu n'as plus qu'à faire la différence membre à membre des deux inéquations.

C'est à dire faire la différence membre à membre ?

0 A 1
0 B 1/3
0 A - B 1-1/3

Oh mais oui je savais pas qu'on pouvait faire ça, merci !

Bonjour,
Je tombe sur ces messages par hasard
@Redcoke2,
Tu avais raison de ne pas savoir qu'on pouvait faire ça...
@Glapion,
Un déraillement passager ?
Remplacer A par 0,9 et B par 0,1 donne A-B = 0,8.

heu oui effectivement c'est un peu fâcheux que j'écrive des bêtises comme ça

Désolé Redcoke2, je vois que tu es en ligne donc je te dois de te donner une piste valide.
Il fallait étudier la fonction f(x)= x-x³/3
en la dérivant on voit que la dérivée est positive entre 0 et 1 donc la fonction est croissante et comme f(0)=0 et f(1) = 2/3 on en déduit que f(x) reste bien entre 0 et 1 ce qui permet de boucler la récurrence.

Il est fort probable que cette fonction était étudiée dans des questions précédentes.

Sinon, il s'agit de démontrer que 0 x 1 0 x(1-x²/3) 1 .

On suppose 0 x 1 (a).
La fonction carrée est croissante sur [0;+[ ; donc 0 x² 1 .
-1/3 < 0 ; donc 0 -x²/3 -1/3 .
Qui s'écrit aussi -1/3 -x²/3 0 .
D'où 1-1/3 1 - x²/3 1 (b).
Les membres des inégalités (a) et (b) sont tous positifs ou nuls.
D'où, par produit : 0 x(1-x²/3) 1 .