Bonsoir,
J'ai un DM à faire pour la rentrée, je n'arrive pas à la question suivante
La suite (Un) est définie pour tout entier naturel n par :
U0=1 et Un+1=Un-1/3(Un)3
Montrer par récurrence que Un appartient à [0;1]
J'ai fais l'initialisation mais je bloque pour l'hérédité
Merci d'avance
Bonjour,
0 Un 1
0 Un^3/3 1/3 (la fonction cube est croissante)
et tu n'as plus qu'à faire la différence membre à membre des deux inéquations.
Bonjour,
Je tombe sur ces messages par hasard
@Redcoke2,
Tu avais raison de ne pas savoir qu'on pouvait faire ça...
@Glapion,
Un déraillement passager ?
Remplacer A par 0,9 et B par 0,1 donne A-B = 0,8.
Désolé Redcoke2, je vois que tu es en ligne donc je te dois de te donner une piste valide.
Il fallait étudier la fonction f(x)= x-x3/3
en la dérivant on voit que la dérivée est positive entre 0 et 1 donc la fonction est croissante et comme f(0)=0 et f(1) = 2/3 on en déduit que f(x) reste bien entre 0 et 1 ce qui permet de boucler la récurrence.
Il est fort probable que cette fonction était étudiée dans des questions précédentes.
Sinon, il s'agit de démontrer que 0 x 1 0 x(1-x2/3) 1 .
On suppose 0 x 1 (a).
La fonction carrée est croissante sur [0;+[ ; donc 0 x2 1 .
-1/3 < 0 ; donc 0 -x2/3 -1/3 .
Qui s'écrit aussi -1/3 -x2/3 0 .
D'où 1-1/3 1 - x2/3 1 (b).
Les membres des inégalités (a) et (b) sont tous positifs ou nuls.
D'où, par produit : 0 x(1-x2/3) 1 .
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