Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

Exercice Ramanujan première vecteur

Posté par
jarod128
06-04-20 à 09:52

Bonjour je partage une remarque qu'un élève m'avait posé il y a quelques années en première pour voir ce que répondrait Ramanujan. Les autres peuvent bien sûr contribuer.
Après ma propriété :  u et v sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que u=k.v ou v=k.u
La remarque de l'élève:
Soit u et v deux vecteurs quelconques. Alors u colinéaire au vecteur nul avec k=0 de même pour v. Par transitivité de la colinearite u colinéaire à v.
?

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 10:16

ce qui prouve que la relation de colinéarité n'est pas transitive

sauf à la considérer sur l'ensemble des vecteurs non nuls ...

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 11:16

pour convaincre un eleve de son erreur, un contre exemple devrait suffire.

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 11:17

oubli: c'est l'eleve qui parle de transitivite ?

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 11:23

oui... c'est un élève de quel niveau à ce sujet ?

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 11:51

jarod128 dit premiere mais il y a longtemps
maintenant on parle de determinant de 2 vecteurs en seconde

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 12:30

Bonjour,

La question que j'aurais posé à Ramanujan est la suivante :

Définition °n1

u et v sont colinéaires si et seulement si il existe k\in \R tel que u=kv$ ou $ v=ku


Définition n°2

u et v sont colinéaires si et seulement si il existe k\in \R tel que u=kv

Pourquoi la définition n°1 plutôt que la définition n°2 ?

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 12:45

n'écoutant que son courage il se garde d'intervenir ...

Posté par
jarod128
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 12:54

Pour répondre aux questions concernant cette anecdote (véridique) c'était en première S, un élève avec deux ans d'avance et qui a parlé (lui) de transitivité. C'était une année particulière pour moi puisque je devais faire attention à toutes mes phrases...
Je me rappelle d'une autre fois (alors que toute l'année lorsque delta était négatif je disais bien que l'équation n'admettait pas de solution DANS R) et un jour je dis: "impossible car on ne peut pas diviser par 0 dans R" immédiatdement j'ai eu le: "ailleurs on peut Monsieur?"
Bref il a fini major à X et a intégré normale sup...

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 13:37

Oui mais là, il me semble qu'il a fait une erreur de raisonnement.

On ne peut pas diviser par zéro dans \R n'implique pas qu'on puisse le faire ailleur enfin il me semble....donc ton assertion est vraie

Posté par
jarod128
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:00

mousse42 Il me l'a demandé naïvement. Je lui accorde que ma phrase pouvait prêter à confusion.

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:09

Si au fait dans \varnothing

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:10

Enfin il me semble

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:30

jarod128 @ 06-04-2020 à 09:52

Après ma propriété :  u et v sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que u=k.v ou v=k.u

C'est donc un theoreme. Mais quelle est la definition de 2 vecteurs colineaires ?

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:45

mousse42 @ 06-04-2020 à 14:09

Si au fait dans \varnothing


salut mousse, comment tu pourrais écrire cette assertion ? (je fais des probas à coté donc j'ai pas le temps d'essayer, mais tu as piqué ma curiosité)

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:45

De mon telephone :
Pour moi c est une définition cohérente

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:47

Kernelpanic, je réponds vers 23h je suis au travail
A+

Posté par
jarod128
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 14:54

alb12 Définition: Deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils ont même direction. Le vecteur nul a toutes les directions.

C'est pour faire suite à la définition d"un vecteur qui est défini par direction, sens et longueur.
Ca vaut ce que ça vaut, je n'aime pas trop parler de classe d'équivalence d'un bi-point en première

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 15:56

je dirais:
"Deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires s'ils ont même direction"
Si on en reste là la transitivite est coherente et elle explique la remarque de ton eleve
mais dans le definition on rajoute:
"par convention le vecteur nul est colineaire à tout vecteur"
du coup la transitivite ne tient plus

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 17:14

attention ce n'est pas tout à fait une convention ...

je donne aussi comme point de départ cette définition géométrique : deux vecteurs sont colinéaires si ils ont même direction.

mezalor un (bon ou pas) élève pourrait me demander : mais quelle est la direction du vecteur nul ?     (si tant est qu'on/il connaisse le vecteur nul)

et donc je poursuis avec sa traduction par la formule classiquement fausse :

le vecteur v est colinéaire au vecteur u s'il existe un réel k tel que v = ku

et si k est nul alors on retrouve bien que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ...

et cette définition est valable même si u est lui-même le vecteur nul ... tout autant que le vecteur v ... mais on retombe sur le pb de la division par 0

car 0 = 1 * 0 tout autant que 0 = 2 * 0 ... mézalor 0/0 = 1 = 2 = 0/0 !!!

et cette définition ne convient donc pas si u est nul et v ne l'est pas puisqu'il n'existe pas de réel k tel que 2 = k * 0 ... toujours ce pb de division par 0 !!!!

donc je prends pour ultime définition (non symétrique) : le vecteur v est colinéaire au vecteur non nul u s'il existe un réel k tel que v = ku

après tout le seul vecteur colinéaire au vecteur nul est ... lui-même puisque {0} est le plus petit espace vectoriel de tout espace vectoriel !!!


enfin pour répondre à l'élève sur la direction du vecteur nul je lui répond : voir cours définition d'un vecteur ... que malheureusement je ne vois pas comment on peut définir autrement qu'avec le triplet (direction, sens, longueur) avec une remarque définissant le vecteur nul ... ou ses propriétés ... (et qu'on avait bien sur fait auparavant)

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 21:14

Autre option
DEF1: definition du determinant de 2 vecteurs
DEF2: 2 vecteurs sont colineaires si leur determinant est nul
TH: traduction geometrique dans le cas de vecteurs non nuls

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 06-04-20 à 22:21

certes mais un déterminant nécessite une structure supplémentaire : la notion de base et de coordonnées ... alors que la colinéarité n'en nécessite pas ... que ce soit par la définition géométrique ou par la multiplication par un réel ...

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 00:11

Kernelpanic @ 06-04-2020 à 14:45

mousse42 @ 06-04-2020 à 14:09

Si au fait dans \varnothing


salut mousse, comment tu pourrais écrire cette assertion ? (je fais des probas à coté donc j'ai pas le temps d'essayer, mais tu as piqué ma curiosité)


Bonsoir Kernelpanic
On ne peut pas diviser par zéro dans R

(\forall x)(x\in \R\implies x $ ne peut être divisé par zéro$)



(\forall x)(x\in \varnothing \implies x $ peut être divisé par zéro$) car dans l'ensemble vide, on peut tout faire.

Enfin, il me semble que c'est correct, on verra bien (carpediem n'est pas loin...)

Posté par
verdurin
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 00:54

Si A est une affirmation quelconque
x\in \varnothing \implies A
est vrai.

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 09:17

C'est vrai, mais bon c'est toujours contre intuitif de se dire qu'on puisse diviser par 0 (quel 0 ?) dans du vide en tout cas merci !

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 09:31

carpediem @ 06-04-2020 à 22:21

certes mais un déterminant nécessite une structure supplémentaire : la notion de base et de coordonnées ... alors que la colinéarité n'en nécessite pas ... que ce soit par la définition géométrique ou par la multiplication par un réel ...

certes mais enseigner c'est choisir et tous les choix, pour autant qu'ils soient coherents, sont recevables. Et ce que je vois comme demo dans les bouquins (colinearite et determinant) est souvent imbuvable pour un eleve de seconde.

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 10:12

ça je suis bien d'accord ... mais l'instruction est progressive et cohérente ... et donc faire les choses dans l'ordre ...

et pour parler de colinéarité il n'y a besoin de rien d'autre que de savoir ce qu'est un vecteur ...

et comme la notion de relation d'équivalence et donc d'équipollence pour les vecteurs n'est plus au programme la définition par le triplet (direction, sens , longueur) suffit ...

et surtout traduire une relation géométrique par un simple calcul mécanique n'est pas du tout formateur pour un apprentissage ultérieure des notions d'espace vectoriel et autres ...

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 13:05

je n'ai pas bien compris comment tu definissais la direction du vecteur nul.

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 13:21

tout de suite après la définition d'un vecteur qui est de façon imagée une flèche ou un segment orienté ...

je complète par une remarque après avoir poser des questions ou l'intervention de la part des élèves (du genre : et s'il n'y a pas de longueur (elle est nulle), ...)

par on note \vec 0 le vecteur nul : il n'a pas de longueur et sa direction est indéfinie (dans le sens: il prend toutes les directions que l'on veut)

c'est un peu le même type de pb avec les exposants (entiers) :

pour faire une multiplication il faut deux facteurs : a * b ou a * a = a2

mais si on n'a qu'un facteur ?
et que signifie alors a0 ?

et là on est obligé de parler réellement de convention (contrairement à ton post de 15 h 56) : x = x^1 $ et $ x^0 = 1 qui s'intègre très bien ensuite dans la théorie générale de l'exponentielle (en particulier si on la définit comme réciproque de la fonction ln, elle même introduite comme unique primitive de la fonction inverse s'annulant en 1 ... parce que la notion de primitive vient tout naturellement après celle de dérivation (: c'est "l'opération inverse")

ça me semble le cheminement et construction intellectuelle les plus naturels et le plus rigoureux ...

plutôt que d'introduire la fonction exp avant ln (même si on connait les suites géométriques) car il se pose toujours le pb de la signification d'un exposant non entier)

alors que pour le vecteur nul ma remarque précisant la nature de l'objet "vecteur nul" est tout à fait en cohérence avec la définition de colinéarité :

Citation :
donc je prends pour ultime définition (non symétrique) : le vecteur v est colinéaire au vecteur non nul u s'il existe un réel k tel que v = ku
qui (re)montre que le vecteur nul prend toute direction que l'on veut ...

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 13:23

et cette convention de collège sur les exposants prend alors tout son sens une fois la fonction exp connue ...

1 est l'image de 0 et a est l'image de 1 par la fonction x \mapsto a^x  (a > 0)

Posté par
alb12
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 13:30

donc le vecteur nul n'a pas de longueur et a une infinite de directions ? Pourquoi pas

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 13:38

Je m'incruste dans la conversation mais a^0 = 1 ,il me semble que ce n'est pas une  convention (je me trompe peut être)

Mais a^1=a^{1+0}=a^1a^0 donc a^0=1, donc pas de convention mais une définition suffit pour déduire que a^0=1

non?

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:05

ben si c'est une convention de prolongement d'une règle définie pour les entiers positifs au départ...

on commence par an avec n entier strictement positif

puis on montre les règles du style an+p = an ap

ensuite on se dit que si on veut donner un sens à a0 il serait de bon ton que les règles usuelles continuent à fonctionner... et pour se faire on est amener à poser a0=1

quand on veut prolonger une notion en math , on s'arrange pour le faire en cohérence avec les propriétés déjà établies

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:08

éventuellement ... tu as raison ... mais comment définis-tu a^1 alors?

en fait il faut revenir à une construction de base :

1/ la multiplication est une opération binaire : elle nécessite deux arguments !!

2/ DEF : pour tout réel a et tout entier n \ge 2  :  a^n = \underset {\text {n facteurs égaux à a} }{a \times a \times a \times \dots \times a}

et d'après 1/ on est obligé de poser ces conventions ... mais qui effectivement se démontre à l'aide de la définition et des autres propriétés qui se déduisent de la définition : mais ce sont des "extensions" de la notion d'exposants ...

n'oubliez pas : (re)mettez-vous en situation d'apprentissage à l'âge que vous aviez quand vous avez appris ce que vous savez maintenant ...

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:10

merci matheuxmatou

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:11

et d'ailleurs on donnera aussi un sens  à a-n pour rester en cohérence avec les règles qui font que, multiplié par an ça donne a0=1

ce qui amène à écrire

1/an = a-n

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:11

ok, merci  carpediem pour ces précisions

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:12

pas de quoi

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:16

de rien ... vu que matheuxmatou a répondu tout autant que moi ... et même mieux par rapport à

Citation :
et d'après 1/ on est obligé de poser ces conventions ... mais qui effectivement se démontrent justifientà l'aide de la définition et des autres propriétés qui se déduisent de la définition : mais ce sont des "extensions" de la notion d'exposants ...


merci MM  

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice Ramanujan première vecteur 07-04-20 à 14:18

service

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !