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Exercice Ramanujan Term S

Posté par
mousse42 04-04-20 à 00:15

Salut Ramanujan

Exercice

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , avec $a<b$

On pose $P(\lambda)=\int_a^b\big[\lambda f(t)+g(t)\big]^2dt\quad \lambda \in \R$

1 Vérifier que $P$ est bien définie

2 Montrer que $P(\lambda)$ est un trinôme de second degré au maximum. On montrera que $P(\lambda)=A\lambda^2+B\lambda +C$ où $A,B,C$ sont à déterminer.

3 Que signifie $A=0$ pour la fonction $f$

4 On suppose que $A>0$ . Etablir l'inégalité de Cauchy-Schwarz $\left(\int_a^bfg\right)^2\le \left(\int_a^bf^2\right)\left(\int_a^bg^2\right)$

Posté par re : Exercice Ramanujan Term S 04-04-20 à 03:57

Bonsoir,
Merci pour l'exercice.

1/ Somme et produit de fonctions continues.

2/ $P(\lambda)=\lambda^2 \int_{a}^b f^2(t) dt + 2 \lambda \int_{a}^b f(t)g(t) dt+ \int_{a}^b g^2(t) dt$ par linéarité de l'intégrale.

3/ $\forall t \in [a,b] f^2(t)=0 \implies f(t)=0$ . $f$ est nulle sur $[a,b]$ .

Le discriminant de $P_{\lambda}$ est négatif car c'est une fonction du second degré positive.

Donc $4 (\int_{a}^b f(t)g(t) dt)^2 - 4 \int_{a}^b f^2(t) dt \int_{a}^b g^2(t) dt \leq 0$

Donc $\boxed{\left( \int_{a}^b f(t)g(t) dt \right)^2 \leq \int_{a}^b f^2(t) dt \int_{a}^b g^2(t) dt }$