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Exercice Ramanujan Term S

Posté par
mousse42
04-04-20 à 00:15

Salut Ramanujan

Exercice

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle contenant a et b, avec a<b

On pose P(\lambda)=\int_a^b\big[\lambda f(t)+g(t)\big]^2dt\quad \lambda \in \R

1 Vérifier que P est bien définie

2 Montrer que P(\lambda) est un trinôme de second degré au maximum. On montrera que P(\lambda)=A\lambda^2+B\lambda +CA,B,C sont à déterminer.

3 Que signifie A=0 pour la fonction f

4 On suppose que A>0. Etablir l'inégalité de Cauchy-Schwarz \left(\int_a^bfg\right)^2\le  \left(\int_a^bf^2\right)\left(\int_a^bg^2\right)

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Term S 04-04-20 à 03:57

Bonsoir,
Merci pour l'exercice.

1/ Somme et produit de fonctions continues.

2/ P(\lambda)=\lambda^2 \int_{a}^b f^2(t) dt + 2 \lambda \int_{a}^b f(t)g(t) dt+ \int_{a}^b g^2(t) dt par linéarité de l'intégrale.

3/\forall t \in [a,b] f^2(t)=0 \implies f(t)=0. f est nulle sur [a,b].

Le discriminant de P_{\lambda} est négatif car c'est une fonction du second degré positive.

Donc 4 (\int_{a}^b f(t)g(t) dt)^2 - 4 \int_{a}^b f^2(t) dt  \int_{a}^b g^2(t) dt \leq 0

Donc  \boxed{\left( \int_{a}^b f(t)g(t) dt \right)^2  \leq  \int_{a}^b f^2(t) dt  \int_{a}^b g^2(t) dt }

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