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Niveau seconde
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exercice roméo et juliette sur les fonctions

Posté par
abuzoo
02-01-18 à 14:13

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice ( j'ai déjà fait la partie 1)

Roméo et juliette sont tombés amoureux.
Mais leur parent sont ennemis et refusent qu'ils se voient.
Juliette se désespère assise sur un banc dans le jardin des Capulet à l'ombre d'un mur couvert d'un rosier grimpant.
Roméo l'aperçoit au loin et voudrait la consoler le plus rapidement possibletout en lui cueillant une rose en chemin.

1.Première étude:modélisation en géométrie dynamique
1) reproduire la figure ci-contre à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
Le point J représente Juliette et le point R Roméo.
Le segment AB représente le mur couvert du rosier grimpant.Le point C,mobile sur ce segment ,représente l'endroit ou Roméo devra cueillir la rose.
AB=6
JA=2
RB=5
JA et RB sont perpendiculaire à AB.
C est un point libre sur le segment AB
2) Grâce aux fonctionnalités du logiciel,décrire comment varie la longueur du trajet RC+CJ en fonction de la position du point C sur le segment AB
3)Conjecturer où doit être situé le point C pour que ce trajet soit le plus court possible.


2.Etude mathématique
Dans cette partie,on pose x=AC et on étude la fonction f(x) qui, à x,associe le chemin parcouru par Roméo c'est à dire la longueur RC+CJ sur le schéma.
1)Quel est l'ensemble de définition de la fonction f?
2)Donner une expression algébrique de la fonction f.
3)A l'aide dune calculatrice graphique ou d'un tableur, déterminer une approximation à 10 puissance -2 près de la position de c qui minimise le trajet RC+CJ.
4)Comparer avec le résultat conjecturé dans la partie 1.

exercice roméo et juliette sur les fonctions

Posté par
Leile
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 15:53

bonjour

partie 2 :
1)Quel est l'ensemble de définition de la fonction f?

quelles sont les valeurs que peut prendre x ( rappel x = AC) ?

Posté par
fm_31
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 15:56

Bonjour ,

Si tu as fait la première partie , tu devrais avoir vu l'ensemble de définition .
Reste à exprimer f(x) . Aide toi de Pythagore .

Cordialement

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 16:24

Leile : la longueur AC change de mesure puisque le point C se déplace sur [AB] donc je ne sais pas quoi répondre.

fm_31 : D'accord mais une fois Pythagore fait cela donnes 2 résultats sous cette forme    +    , non?

Posté par
fm_31
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 16:35

Oui , il y a des racines carrées dans l'expression de f(x) . C'est pour cela que la question 3 se fait avec une calculatrice .

Posté par
Leile
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 16:43

Leile : la longueur AC change de mesure puisque le point C se déplace sur [AB] donc je ne sais pas quoi répondre.

précisemment.   On a AC = x
on te demande quelles sont les valeurs que peut prendre x, c'est à dire les valeurs possibles pour AC.

au minimum, quand C est tout en haut, sur A, que vaut AC ?
au maximum quand C est tout en bas, sur B, que vaut AC ?

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 16:48

fm_31 : D'accord merci est ce qu'il faut par la suite utiliser Thalès avec un point symétrique ?

Leile /  D'accord donc l'ensemble de définition est [0;6] ?

Posté par
Leile
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 16:52

oui, l'ensemble de définition est correct.

qu'as tu trouvé en appliquant Pythagore ?

Posté par
fm_31
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 16:54

Je ne vois pas où ni pourquoi  Thalès serait applicable .

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 17:07

Leile D'accord merci, pour Pythagore j'ai trouvé : JC= 4+x[/sup]  et RC= 25 + (6-x)[sup]

fm_31 Ha d'accord, merci.

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 17:08

EDIT : Les [sup] sont des carré, je n'ai pas réussi à les mettres dans le poste précédent.

Posté par
Leile
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 17:28

ok pour JC et RC  (tout est sous la racine ==> mets des parenthèses !).

donc tu as exprimé f(x) = JC + RC  = .......

utilise la calculatrice ou le tableur pour finir la question 3

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 02-01-18 à 17:40

Bonjour,

pour info : mettre des carrés c'est mettre le caractère 2 en exposant
pour mettre n'importe quoi en exposant il faut le taper entre les balises [sup][/sup] générées par le bouton X2
ainsi dans la zone de saisie : x[sup]2[/sup]
exactement comme pour souligner quelque chose, on le met entre les balises [u][/u] générées par le bouton S etc etc

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 10:34

Leile JC + RC= AB  ?

mathafou D'accord merci !

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 11:05

Leile Mais si je mets des parenthèses  tout le résultats et au carré, alors qu'il n'y a que x au carré non ?

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 11:26

faut pas mettre des parenthèses n'importe où

4+x2 veut dire \sqrt{4}+x^2

pour dire \sqrt{4+x^2} il faut "pallier" au fait qu'on ne connait pas la longueur du radical en ajoutant des parenthèses obligatoires

(4+x2)
etc
et la racine d'une somme n'est pas la somme des racines carrées !!
cette expression ne se simplifie pas
c'est pour ça qu'on ne peut pas aller plus loin (en seconde) dans le calcul algébrique et qu'il faut enchainer avec un tableau de valeurs de la fonction à la calculette

ce n'est pas une équation, c'est une fonction de x, dont on cherche le minimum
j'en profite pour relever :

JC + RC= AB ???? certainement pas !! tu penses vraiment que que la ligne brisée JC+CR serait égale à la ligne droite AB ??

je me demande quelle idée tu avais derrière la tête,
ou plutôt si : tu cherches à avoir une équation à résoudre
tu n'en trouveras pas parce que lire ce que je viens de dire :
c'est une fonction dont on cherche le minimum.

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 12:17

D'accord, donx f(x) =   (4+x²) + 25+(6-x²)  ?

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 12:30

il manque aussi une deuxième paire de parenthèses sinon seul le 25 serait sous le deuxième radical :

f(x) = (4+x²) + (25+(6-x²))

vu ce qu'on va en faire (taper la formule dans une calculette et rien d'autre), on peut développer ce qui est sous ce deuxième radical, ou pas
mais ça ne "simplifie" rien du tout.

f(x) = (4+x²) + (61-12x+x²)

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 13:05

mathafou D'accord, mais est-ce normal que ma courbe soit droite sur mon graphique (Calculette) ? Ce devrait être un parabole non ?

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 13:13

ce n'est ni une droite ni une parabole
si c'était une parabole, son minimum serait dans le cours, on n'aurait pas besoin de faire un tableau de valeurs ou une lecture graphique (la lecture graphique est bien plus imprécise qu'un tableau de valeurs)

et toute courbe vue avec un fort grossissement sera un bout de droite ...

la partie intéressante de la courbe est pour x entre 0 et AB = 6 ("domaine de définition")
régler la fenêtre pour ça.

d'autre part les parenthèses "en texte" ici sont exactement les mêmes que dans une calculette !!
les oublier fera un calcul faux.

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 13:52

J'ai bien noté la fonction en remplaçant X par 10^-2 et ma ''courbe'' est droite, je ne comprends pas pourquoi.

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 14:13

en remplaçant X par 10^-2 ???????

x c'est x écrit x pour tracer une courbe !! (la courbe représentative d'une fonction de x)

tu ne peux pas remplacer x par une valeur vu que tu ne la connais pas !!
et ça ne te donnerait pas une courbe du tout avec une seule valeur
toi tu obtiens même la courbe y = une constante
qui est bien une droite horizontale, mais qui n'a rigoureusement aucun rapport avec la courbe de la fonction


un tableau de valeurs sera lui obtenu en remplaçant x par des tas de valeurs
par exemple par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6     (7 valeurs dans le tableau)
ou par 0; 0,1; 0,2; 0,3 ...  5,1; 5,2 ... 5,9; 6  (une soixantaine de valeurs)
ou etc

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 16:50

Je n'arrive pas la question 3, ce n'est pas grave.
Merci de votre aide.

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 20:46

je viens de m'apercevoir d'une faute de frappe et d'une erreur passée inaperçue

f(x) = (4+x²) + (25+(6-x)²)
et pas
f(x) = (4+x²) + (25+(6-x²))

(c'est 6-x en entier qui est au carré, BC2)

et ça fait bien
f(x) = (4+x²) + (61-12x+x²)
(j'avais corrigé sans m'en rendre compte)

Q3 :
en tapant la fonction f(x)  et pas des élucubration de valeurs numériques
par exemple dans Geogebra, je n'ai pas de calculette
f(x)=sqrt(4+x^2)+sqrt(25+(6-x)^2) tel quel sans en changer une virgule
tu dois obtenir ça :

exercice roméo et juliette sur les fonctions

la courbe est très aplatie de sorte que on a du mal à voir où est le minimum

en changeant d'échelle et en mettant le début de la fenêtre y en 9 :

exercice roméo et juliette sur les fonctions

on estime mieux où se trouve le minimum (pour quelle valeur de x, donc pour quelle position de C)

mais une telle lecture graphique de minimum sera toujours assez imprécise et il vaut mieux faire une table de valeurs (tableur ou fonction tableur de la calculette)
pour x au voisinage de ce qu'on observe sur le graphique (quelque part entre 1 et 2)

toute cette question 3 est exclusivement sur savoir utiliser sa calculette !!
se reporter à la notice de cette calculette au besoin.

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 21:23

mathafou Merci beaucoup de l'aide !

Une fois dans le tableur (avec la fonction que vous m'avez donné)  les résultats sont tout de même avec une racine alors que l'énoncé nous précise bien que l'on doit donner une approximation à 10 ^-2
Exemples de mon tableau :
X: 1          /    Y1   5 + 5 2
X: 2         /     Y1   41 + 2 2
X: ..

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 21:30

EDIT : Je viens de m'apercevoir que les paramètres de ma calculatrice avaient été réinitialisés.
Les résultats sont donc :
X:1      /  Y1: 9,30
X:1,5 /   Y1: 9,22
x:2     /    Y1: 9,23

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 21:41


donc "à 0,5 près" le minimum est pour x = 1.5

tu dois faire la même chose mais avec un pas beaucoup plus fin !!
vu qu'on te demande à 10-2 près, il faudra faire descendre le pas à 10-2 = 0.01 ! voire moins
(petit à petit, descendre le pas tout de suite à 0.01 donne une table trop grande à examiner)
attention c'est le pas qui doit être à 10-2 (les valeurs en X)
les valeurs en y doivent être bien plus précises pour pouvoir les comparer !!

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 21:54

Avec le pas à 0,01 les plus petites valeurs sont entre X: 1,67 et X:1,76  ou Y donne 9,21..
quelle valeur dois- je choisir ?

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 03-01-18 à 22:03

regarder plus attentivement les décimales suivantes de y

Citation :
les valeurs en y doivent être bien plus précises pour pouvoir les comparer !!

afficher et comparer TOUTES les décimales de y, pas seulement deux !!

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 04-01-18 à 01:27

Je ne comprends pas quel résultat je devrais écrire sur ma feuille, il y a 9 résultats avec 9,21__  

Posté par
mathafou
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 04-01-18 à 01:58

pffff il faut examiner les valeurs de f(x) avec au moins 5 chiffres après la virgule, voire 6 ou plus :
TOUS ceux que peut afficher la calculette. tu persistes à ne regarder que les deux premiers
alors si tu refuses de faire ce que je te répète encore et encore, à quoi ça sert que je t'aide ...

x       f(x)
1.66    9.2199995758
1.67    9.2198468899
1.68    9.2197254568
1.69    9.2196351357
1.7     9.2195757872
1.71   9.2195472728  
1.72    9.2195494552
1.73    9.2195821983
1.74    9.219645367
1.75    9.2197388274
1.76    9.2198624467

Posté par
abuzoo
re : exercice roméo et juliette sur les fonctions 04-01-18 à 11:44

Merci de l'aide pour la fin (et le reste) mais j'avais trouvé le résultat hier j'avais juste oublié de vous le dire, désolé.

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