aide à l'écriture des matrices

choisir le Ltx entouré



puis

Bonjour,
Voici l'énoncé de mon DM:
On considère la matrice:
                                      1 2 2
                             A = 2 1 2
                                      2 2 1
On souhaite calculer A^n pour n entier naturel.

1) Calculer les premières puissances de A à l'aide d'un logiciel. Quelle forme particulière remarque t-on pour ces matrices?

2)a- Ecrire A sous la forme A=2B-I3, où I3 est la matrice identité d'ordre 3 et B une matrice à préciser.

b- Montrer que B^2=3B

c- En déduire A^2 en fonction de B et I3, puis A^3

3) Démontrer par récurrence que, pour tout n1, A^n=(-1)^n*I3+1/3*(5^n-(-1)^n)*B.

4) Ecrire A^n avec tous ses coefficients en fonction de n, pour n appartenant à N*

Réponses:

1) A^2= 9 8 8
                   8 9 8
                   8 8 9

A^3= 41 42 42
              42 41 42
              42 42 41
  
A^4= 209 208 208
             208 209 208
             208 208 209

...

Nous remarquons que ces matrices sont des matrices carrés d'ordre 3, celles-ci ont leur diagonales de même coefficient et tous les autres coefficients sont également égaux.

2)a-
I3= 1 0 0
        0 1 0
         0 0 1
A= 1 2 2
        2 1 2
        2 2 1

                   A= 2B-I3
                   2B= A+I3
             Donc: B= (A+I3)/2

2B= 1 2 2   1 0 0
         2 1 2 + 0 1 0
          2 2 1   0 0 1
    
2B= 2 2 2
           2 2 2
           2 2 2

B/2= 1 1 1
            1 1 1
            1 1 1

D'où:
A= 2B-I3

A= 2 2 2   1 0 0
       2 2 2 - 0 1 0
        2 2 2   0 0 1

A= 1 2 2
        2 1 2
         2 2 1

2)b- B^2= 1 1 1   1 1 1
                        1 1 1 * 1 1 1
                        1 1 1   1 1 1
B^2 = 3 3 3
               3 3 3
               3 3 3

Par définition le produit d'une matrice par un réel K est une matrice de même taille formée par les coefficients de cette matrice multipliés par K.
Donc:

3*B= 3 3 3
            3 3 3  
            3 3 3


2c)
A^2=(2B-I_3)((2B-I_3)=4B^4-4B+I_3=8B+I_3
\\ A^3=A^2((2B-I_3))=16B^2-6B-I_3=42B-I_3
\\  


3) hérédité

A^{n+1}=A^n(-I_3+2B)=((-1)^nI_3+\dfrac{1}{3}(5^n-(-1)^n)B) (-I_3+2B)
=(-1)^{n+1}I_3+2(-1)^nB-\dfrac{1}{3}(5^n-(-1)^n)B+\dfrac{2}{3}(5^n-(-1)^n)B^2
\\  
=(-1)^{n+1}I_3+2(-1)^{n}B-\dfrac{1}{3}(5^n-(-1)^n)B+\dfrac{6}{3}(5^n-(-1)^n)B

=(-1)^{n+1}I_3+\dfrac{1}{3}(5^{n+1}+(-1)^n})B

+(-1)^n=-(-1)(-1)^n=-(-1)^{n+1}

A^{n+1}=(-1)^{n+1}I_3+\dfrac{1}{3}(5^{n+1}-(-1)^{n+1})B

je suis bloqué a la question 4
S'il vous plait aidez moi

*** message déplacé ***

ça fait plaisir...on donne le moyen d'écrire correctement...non seulement ce n'est pas utilisé, mais en plus on fait du multipost...
impossible que tu n'aies pas vu ça :

excuser moi je ne trouver plus mon postes je pensais donc ne pas avoir poster mon messages je l'ai donc reposter

encore dsl mais pouvez vous m'aider pour mon exercice