1) N=a^5-a=a(a^4-1)=a(a²-1)(a²+1)=(a-1)a(a+1)(a²+1)

Dans le produit (a-1)a(a+1), il y a nécessairement au moins un multiple
de 2 et un seul multiple de 3. Le nombre N est donc divisible par
2. Reste à montrer qu'il est divisible par 5.

Pour cela, il suffit de raisonner sur a :

si a=5k (multiple de 5), N l'est aussi

si a=5k+1, a-1 est multiple de 5 donc N aussi

si a=5k+4, a+1 est multiple de 5 donc N aussi

si a=5k+2, a²+1=(5k+2)²+1=25k²+10k+5, multiple de 5 donc N aussi

enfin, si a=5k+3, a²+1=(5k+3)²+1=25k²+30k+10, multiple de 5 donc N aussi

Dans tout les cas, N est multiple de 2 et de 5 donc N est divisible par
10.



2) a^5-b^5=a^5-a+a-b^5+b-b

=(a^5-a)-(b^5-b)+a-b

D'après la question précédente, a^5-a et b^5-b sont divisibles par 10.

Par conséquent, si a^5-b^5 est divisible par 10 alors a-b aussi

Donc a-b=10k soit : a=b+10k

Une conséquence est que si b est pair, a aussi

si b est impair, a aussi

Donc a et b ont nécessairement même parité.

Cela implique que a+b est un multiple de 2 (y réfléchir)

Comme a²-b²=(a+b)(a-b), que a+b est un multiple de 2 et a-b multiple de
10, alors a²-b² est divisible par 20.

FIN