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exercice suite

Posté par
Bonjourbon
20-02-21 à 23:29

Bonjour! Je viens demander de l'aide pour un exercice sur les suites qui me posent pas mal de problèmes vers la fin :')) Je ne sais pas si ce que j'ai fais est juste, ou complet et je n'ai pas très bien compris la 5) surtout. Voilà l'énoncé et ce que j'ai déjà fait :

Une MJC, ouverte tous les mercredis à partir du 1er septembre, propose aux enfants de s'inscrire chaque semaine à une activité. L'une de ces activités est la peinture. Une étude effectuée sur l'année scolaire 2020/2021 montre que d'une semaine sur l'autre, 5% des enfants ne se réinscrivent pas à l'activité peinture alors que dans le même temps, 10 nouveaux s'y inscrivent.
Le directeur se base sur les résultats de l'année scolaire 2020/2021 pour prévoir l'évolution des inscriptions pour l'année scolaire 2021/2022. La première semaine de l'année scolaire 2020/2021, 80 enfants se sont inscrits à l'activité peinture. On note u0 le nombre initial d'enfants inscrits à l'activité peinture, ainsi u0 = 80.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'enfants inscrits à l'activité
peinture au bout de x semaines.

1. Déterminer u1. Interpréter le résultat.
u1=u0-(u0 x 5/100)+10
       =80-(80 x 5/100)+10
       =86
Il y a 86 enfants inscrits à l'atelier la première semaine.

2. Pour tout entier naturel n, justifier que un+1 = 0,95un + 10.
un+1=(100-5/100)un+10
            =95/100un+10
            =0.95un

3. Résoudre l'équation x= 0,95x + 10. On nommera x0 cette solution.
x=0,95x+10
x=200

4. a) Pour tout entier naturel n, on pose an = un- x0. Exprimer an+1 en fonction de un+1 puis démontrer que pour tout entier naturel n, an+1 = 0,95an.
an+1 = un+1 − x0
an+1 = un+1 − 200
an+1 = (0, 95un + 10) − 200
an+1 = 0, 95un − 190
an+1 = 0, 95(un − 190/0, 95 )
an+1 = 0, 95(un − 200)
an+1 = 0, 95an

b) On suppose que pour tout n ∈ ℕ, an = −120 × 0,95^n. En déduire une expression de un en fonction de n .
on sait que an=un-x0 <=> un=an+x0
un=an+200
      =200-120 x 0,95^n

5. Déterminer le sens de variation de la suite (un). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
un+1-un=...
Et c'est là que je bloque :'))

6. Après combien de semaines, le contexte restant le même, le nombre d'enfants inscrits à l'activité peinture dépassera-til 150 ? Justifier en précisant la méthode utilisée.

Merci d'avance!

Posté par
azerti75
re : exercice suite 20-02-21 à 23:50

Bonjour,

Pour la question 5, ça revient à comparer 0,95  n+1 à O,95n

Posté par
azerti75
re : exercice suite 20-02-21 à 23:54

azerti75 @ 20-02-2021 à 23:50

Bonjour,

Pour la question 5, ça revient à comparer 0,95  n+1 à O,95n


Autrement dit : 0,95 à 1

Posté par
azerti75
re : exercice suite 21-02-21 à 00:03

Bonjourbon @ 20-02-2021 à 23:29


2. Pour tout entier naturel n, justifier que un+1 = 0,95un + 10.
un+1=(100-5/100)un+10
            =95/100un+10
            =0.95un



Je n'ai pas bien compris ce que tu as fait là

Posté par
azerti75
re : exercice suite 21-02-21 à 00:05

azerti75 @ 20-02-2021 à 23:50

Bonjour,

Pour la question 5, ça revient à comparer 0,95  n+1 à O,95n


Car Un = 200 - 120 x 0,95 ^n
Donc Un+1 = 200 - 120 x 0,95 ^ (n+1)

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 00:20

azerti75 @ 20-02-2021 à 23:50

Bonjour,

Pour la question 5, ça revient à comparer 0,95  n+1 à O,95n

Déjà merci beaucoup de votre réponse et désolé de mon retard! :')) Donc si j'ai bien compris ce que vous m'avez expliqué, je suis censé faire ça :
un+1-un=0,95^un+1-0,95^n
                   = 0,95^n x 0,95 -0,95^n
                   =0.95
J'en déduis donc que le sens de variation de la suite un est positif, et que par la même occasion chaque semaine le nombre d'élèves inscrits à l'atelier augmente.

Es- ce bon? :')

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 00:22

azerti75 @ 21-02-2021 à 00:03

Bonjourbon @ 20-02-2021 à 23:29


2. Pour tout entier naturel n, justifier que un+1 = 0,95un + 10.
un+1=(100-5/100)un+10
            =95/100un+10
            =0.95un



Je n'ai pas bien compris ce que tu as fait là

Et ici j'ai essayé de prouver que un+1=0,95un + 10, ce n'est pas ce qu'il faut faire ? Je pense que je m'y suis mal prise du coup :'))

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 17:53

.

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 19:03

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 00:20

azerti75 @ 20-02-2021 à 23:50

Bonjour,

Pour la question 5, ça revient à comparer 0,95  n+1 à O,95n

Déjà merci beaucoup de votre réponse et désolé de mon retard! :')) Donc si j'ai bien compris ce que vous m'avez expliqué, je suis censé faire ça :
un+1-un=0,95^un+1-0,95^n
                   = 0,95^n x 0,95 -0,95^n
                   =0.95
J'en déduis donc que le sens de variation de la suite un est positif, et que par la même occasion chaque semaine le nombre d'élèves inscrits à l'atelier augmente.

Es- ce bon? :')


Mais non, c'est  faux

Soit tu écris, u n +1 - un= 200 - 120 x 0,95 n+1 - 200 + 120 x O,95 n =  - 120 x 0,95 n +1 + 120 x 0,95 n = .... tu continues jusqu'à ce que tu puisses conclure sur le signe de l'expression,

soit tu écris: 0,95 < 1, donc 0,95 n +1 < 0,95 n (car O,95n strictement positif)
Donc 120 x 0,95 n +1 < 120 x 0,95 n,et tu continues jusqu'à ce que tu aies d'un côté de l'inégalité un +1 et de l'autre côté un

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 20:39

Okay je vois merci, je réessaye tout de suite

u n +1 - un= 200 - 120 x 0,95^n+1 - 200 + 120 x O,95^n
=  - 120 x 0,95^n +1 + 120 x 0,95^n
=- 120 x 0,95^n x 0,95  + 120 x 0,95^n
=0,95
Est ce que là c'est plus correct?

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 21:00

Comment tu fais pour passer de :
-120 X 0,95 n X 0,95 + 120 X 0,95n  à

0,95 ?

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 21:04

Je n'ai pas vraiment compris comment faire avec les puissances et c'est sûrement pas le bon raisonnement mais pour moi -120 X 0,95 n et 120 X 0,95n s'annulent.

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 21:06

Oublie 5 secondes l'exercice en cours et maintenant imagine qu'on te pose comme exercice:

Factoriser -120 X 0,95n X 0,95 + 120 X 0,95n

Que fais-tu ?

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 21:08

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 21:04

Je n'ai pas vraiment compris comment faire avec les puissances et c'est sûrement pas le bon raisonnement mais pour moi -120 X 0,95 n et 120 X 0,95n s'annulent.


Non ils ne s'annulent pas

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 21:16

je pense que j'essaie de trouver le facteur commun, qui je pense est 0,95^n et ça me donne :
-120 X 0,95^n X 0,95 + 120 X 0,95^n = 120 (-0,95^n x 0,95 + 0,95^n)

mais bon vu ma logique j'ai un gros doute sur ce que je viens de faire

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 21:30

Oui c'est bon continue.

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 21:37

Okay!
-120 X 0,95^n X 0,95 + 120 X 0,95^n = 120 (-0,95^n x 0,95 + 0,95^n) = 120 x 0,95 = 114
Et du coup pour la dernière question je pense utiliser un tableur vu qu'il n'y a pas de méthode en première pour ça si je ne me trompe pas :'))

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 21:40

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 21:37

Okay!
-120 X 0,95^n X 0,95 + 120 X 0,95^n = 120 (-0,95^n x 0,95 + 0,95^n) = 120 x 0,95 = 114


Non

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 21:41

azerti75 @ 22-02-2021 à 21:40

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 21:37

Okay!
-120 X 0,95^n X 0,95 + 120 X 0,95^n = 120 (-0,95^n x 0,95 + 0,95^n) = 120 x 0,95 = 114


Non

Fichtre

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 21:41

bon bah j'y retourne désolé :'))

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 21:42

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 21:16


-120 X 0,95^n X 0,95 + 120 X 0,95^n = 120 (-0,95^n x 0,95 + 0,95^n)


Il y a également 0,95n comme facteur commun

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 21:43

Factorise  4a - 8 ab

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 21:49

Reçu 5 sur 5 je refais la même mais avec 0,95^n :')) mais je bloque toujours à la même étape

-120 X 0,95^n X 0,95 + 120 X 0,95^n = 0,95^n(-120 x 0,95+120)=

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 21:49

azerti75 @ 22-02-2021 à 21:43

Factorise  4a - 8 ab

comment ça?

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 22:09

Oublie temporairement l'exercice en cours et factorise :
4a - 8 ab

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:13

aaaah okay j'ai paniquée :'))  Je vais essayer!

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:13

4a - 8 ab= 2a(2a-4b)
est ce que ça marche?

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 22:14

Tu es sûre ?

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:19

arf en fait pour moi il y a plein de possibilités :')) bon allez rebelote
4a - 8 ab= 4a(a-8b)

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:20

oups je crois que j'ai encore fais une faute c'est a(4-8b) non?

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 22:21

Donc 4a est le facteur commun ça c'est bon mais la suite n'est pas bonne.

4a X a = ?

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:22

azerti75 @ 22-02-2021 à 22:21

Donc 4a est le facteur commun ça c'est bon mais la suite n'est pas bonne.

4a X a = ?


ahhhhh du coup 4a(1-8b)?

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:23

4a(1-2b) pardon

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 22:24

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 22:23

4a(1-2b) pardon


Enfin !

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:25

azerti75 @ 22-02-2021 à 22:24

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 22:23

4a(1-2b) pardon


Enfin !

Yeaaah j'ai enfin réussi un truc :'DD

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 22:30

azerti75 @ 22-02-2021 à 21:06

Oublie 5 secondes l'exercice en cours et maintenant imagine qu'on te pose comme exercice:

Factoriser -120 X 0,95n X 0,95 + 120 X 0,95n

Que fais-tu ?

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:34

Après je pense que dans ce cas là c'est les puissance qui me gênent, je devrais peut être voir sur le site si il y a une fiche pour m'aider j'ai pas envie d'abuser de votre gentillesse :')) Merci encore azerti75 de m'avoir donné de votre temps je vais essayer de chercher encore un peu ! Et au pire même si je n'ai pas forcément le bon résultat, rien que pour l'effort et la formule je pourrai avoir quelques points hehe :p

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 22:41

Vas-y, on a presque fini

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 22:55

mais du coup juste pour être sûre, entre les parenthèses dans un factorisation il ne faut absolument pas qu'il y ait des multiplications?

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 23:04

4a - 8 ab = 4a( 1 - 2 b)
2b c'est une multiplication

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 23:07

Okay mais alors pourquoi -120 x 0,95^n x0,95+120 x 0,95^n = 0,95^n (-120 x 0, 95 + 120) ne marche pas? Pour moi c'est le seul moyen à mes yeux :'))  

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 23:15

Oui c'est bon, mais il y a également 120 comme facteur commun.
Par exemple, écrire 4a -8ab =  2 ( 2a - 4 ab) c'est bon, mais dans la parenthèse il y a également d'autres facteurs communs, c'est pour cela que la factorisation est 4a (1- 2b)

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 23:18

azerti75 @ 22-02-2021 à 23:15

Oui c'est bon, mais il y a également 120 comme facteur commun.
Par exemple, écrire 4a -8ab =  2 ( 2a - 4 ab) c'est bon, mais dans la parenthèse il y a également d'autres facteurs communs, c'est pour cela que la factorisation est 4a (1- 2b)

aahh est ce que je peux mettre 120 x 0,95^n (-1 x 0, 95 + 1) ??

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 23:19

Tout compte fait, tu peux faire comme ça.

Maintenant calcule ce qu'il y a dans la parenthése (avec la calculatrice) et tu pourras conclure

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 23:21

Je répondais à ton message de 23; 07

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 23:24

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 23:18

azerti75 @ 22-02-2021 à 23:15

Oui c'est bon, mais il y a également 120 comme facteur commun.
Par exemple, écrire 4a -8ab =  2 ( 2a - 4 ab) c'est bon, mais dans la parenthèse il y a également d'autres facteurs communs, c'est pour cela que la factorisation est 4a (1- 2b)

aahh est ce que je peux mettre 120 x 0,95^n (-1 x 0, 95 + 1) ??


Oui c'est ce que j'attendais , mais en faisant comme tu l'as fait à 23: 07, on peut également conclure

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 23:25

azerti75 @ 22-02-2021 à 23:19

Tout compte fait, tu peux faire comme ça.

Maintenant calcule ce qu'il y a dans la parenthése (avec la calculatrice) et tu pourras conclure

Okay okay voilà ce que ça me donne :
0,95^n (-120 x 0, 95 + 120)= O,95^n x 6
C'est good comme ça?

Posté par
Bonjourbon
re : exercice suite 22-02-21 à 23:26

azerti75 @ 22-02-2021 à 23:24

Bonjourbon @ 22-02-2021 à 23:18

azerti75 @ 22-02-2021 à 23:15

Oui c'est bon, mais il y a également 120 comme facteur commun.
Par exemple, écrire 4a -8ab =  2 ( 2a - 4 ab) c'est bon, mais dans la parenthèse il y a également d'autres facteurs communs, c'est pour cela que la factorisation est 4a (1- 2b)

aahh est ce que je peux mettre 120 x 0,95^n (-1 x 0, 95 + 1) ??


Oui c'est ce que j'attendais , mais en faisant comme tu l'as fait à 23: 07, on peut également conclure

Vraiment?? ouff enfin DD

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 23:26

Parfait

Posté par
azerti75
re : exercice suite 22-02-21 à 23:30

Donc un + 1 - un positif, donc u n +1 supérieurà un donc la suite est croissante

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