Bonjour,

calcule les 4 premiers termes de la suite

Barney, j'ai trouvé u₀=5 ; u₁=1,4 ; u₂=17/7 et u₃=31/17

très bien, tu aurais du laisser U₁ en fraction pour les questions suivantes

tu dois pouvoir conjecturer des variations , une certaine idée de cette suite

pour montrer que U_n>0
    raisonne par récurrence : tu le sais pour le rang 0
                                                             tu l'admets pour le rang n
                                                             tu démontres pour le rang n+1

Ok u₁=7/5

Pour les variations, ça semble alterner entre croissante et décroissante et converge vers 0.

Pour la récurrence : u₀=5 et 5>0. Donc l'inégalité est vraie qd n=0

Soit n0. Supposons que u_n>0 et montrons que u_n+1>0 :
Mais à partir de là que bloque car j'aimerais faire : u_n>0 2/u_n > 2/0 mais on peut pas diviser par 0 donc c'est faux.

si U_n>0  alors 2/U_n>0   et 2/Un  +1 >1
donc ...

u_n+1>0

ben oui, c'est tout simple ici
(ta conjecture de convergence vers 0, non )

Oui c'est ver s2 que ça converge j'ai mal relu ma feuille

calcule les images de 7/5 et de 5 par f
réponds aux questions suivantes

J'ai calculé les images donc f(7/5)=17/7 et f(5)=7/5

Mais pourtant je n'arrive pas à savoir comment répondre, je dois louper quelque chose de simple en plus

sur cet intervalle, f'(x)=
donc f(x) est ... et les images appartiennent à [   ;   ]

Je ne suis pas sûr des intervalles mais je dirais :

sur cet intervalle ( [7/5 ; 5] ? ), f'(x)=-2/x²
La dérivée est négative sur cet intervalle

donc f(x) est décroissante et les images appartiennent à [7/5 ; 17/7]

voilà

Mes intervalles sont-ils bons ? Surtout pour le dernier ?

oui, mais tu dois conclure chaque question suivant comment elle est posée

Et pour la deuxième partie de la question, est-ce qu'il suffit d'utiliser la propriété qui nous dit que :

Si la fonction f est stric. décroissante sur [n₀ ; +] alors la suite u est strictement décroissante.

Donc on sait que ce sera la même situation qu'avec la fonction ?

Ok je répondrais comme la question est posée lorsque je le mettrai au propre

oui mais attention aux déductions à la hache
la suite est définie sur des valeurs discrètes et entières
la fonction est définie avec des réels de façon continue sur un intervalle donné

Pour la 3, première partie :

u_n+1=(2/u_n)+1 u_n+1-2=(2/u_n)-1 u_n+1-2=2-u_n/u_n

Donc pour la 2,  Suffit-il de préciser que :

Soit n₀=2 un entier naturel. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [7/5 ; 5]. Soit u la suite définie pour tout entier naturel n n₀ par u_n=f(n).

Puis mettre la propriété.

Je propose des choses

Euh le n₀ = 0, je me suis trompé

oui ça parait bien

Tu peux me donner un piste pour la deuxième partie de la question 3 car je bloque total

réalise des encadrements, pas à pas,
en partant de l'encadrement de U_n obtenu dans question précédente

Même avec ton aide, je n'arrive pas à voir : il faut bien partir de 7/5<u_n<5

Il y a quelqu'un ?

Je up

tu as montré que U_n>7/5   donc 1/U_n<5/7

U_n+1 - 2 = (2-U_n)(1/U_n)  

tu peux donc montrer l'inégalité demandée ! (par division de la valeur abs)