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Exercice Suites

Posté par
TheShy
15-05-19 à 13:16

Bonjour !

J'aurai besoin de pistes pour résoudre un exercice où je n'arrive à rien faire.
Merci d'avance.

Enoncé : Soit (un) la suite définie par u0=5 et pour tout n de , un+1=(2/un)+1 et la fonction f définie sur ]0;+[, par f(x)=(2/x)+1.

A. 1) Montrer que pour tout n de , un>0

2) Démontrer que si 7/5<x<5 alors 7/5<f(x)<5. En déduire que pour tout n de , 7/5<un<5 .

3) Démontrer que pour tout n de , un+1-2=(2-un)/un, puis que, |un+1-2|5/7|un-2|

4) En déduire que la suite (vn) définie pour tout n de par vn=(|un-2|)/(5/7)n est décroissante.

5) En comparant vn et v0, établir que |un-2|3(5/7)n

6) Démontrer que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.

J'ai essayé de faire la 1 par récurrence mais je pense que c'est faux.

Merci encore si vous prenez le temps de répondre ou juste m'aider.

TheShy

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:22

Bonjour,

calcule les 4 premiers termes de la suite

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:26

Barney, j'ai trouvé u0=5 ; u1=1,4 ; u2=17/7 et u3=31/17

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:37

très bien, tu aurais du laisser U1 en fraction pour les questions suivantes

tu dois pouvoir conjecturer des variations , une certaine idée de cette suite

pour montrer que Un>0
    raisonne par récurrence : tu le sais pour le rang 0
                                                             tu l'admets pour le rang n
                                                             tu démontres pour le rang n+1

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:46

Ok u1=7/5

Pour les variations, ça semble alterner entre croissante et décroissante et converge vers 0.

Pour la récurrence : u0=5 et 5>0. Donc l'inégalité est vraie qd n=0

Soit n0. Supposons que un>0 et montrons que un+1>0 :
Mais à partir de là que bloque car j'aimerais faire : un>0 2/un > 2/0 mais on peut pas diviser par 0 donc c'est faux.

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:49

si Un>0  alors 2/Un>0   et 2/Un  +1 >1
donc ...

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:52

un+1>0

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:58

ben oui, c'est tout simple ici
(ta conjecture de convergence vers 0, non )

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 13:59

Oui c'est ver s2 que ça converge j'ai mal relu ma feuille

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:01

calcule les images de 7/5 et de 5 par f
réponds aux questions suivantes

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:08

J'ai calculé les images donc f(7/5)=17/7 et f(5)=7/5

Mais pourtant je n'arrive pas à savoir comment répondre, je dois louper quelque chose de simple en plus

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:15

sur cet intervalle, f'(x)=
donc f(x) est ... et les images appartiennent à [   ;   ]

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:26

Je ne suis pas sûr des intervalles mais je dirais :

sur cet intervalle ( [7/5 ; 5] ? ), f'(x)=-2/x2
La dérivée est négative sur cet intervalle

donc f(x) est décroissante et les images appartiennent à [7/5 ; 17/7]

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:39

voilà

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:40

Mes intervalles sont-ils bons ? Surtout pour le dernier ?

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:44

oui, mais tu dois conclure chaque question suivant comment elle est posée

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:44

Et pour la deuxième partie de la question, est-ce qu'il suffit d'utiliser la propriété qui nous dit que :

Si la fonction f est stric. décroissante sur [n0 ; +] alors la suite u est strictement décroissante.

Donc on sait que ce sera la même situation qu'avec la fonction ?

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:45

Ok je répondrais comme la question est posée lorsque je le mettrai au propre

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:48

oui mais attention aux déductions à la hache
la suite est définie sur des valeurs discrètes et entières
la fonction est définie avec des réels de façon continue sur un intervalle donné

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:51

Pour la 3, première partie :

un+1=(2/un)+1 un+1-2=(2/un)-1 un+1-2=2-un/un

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:56

Donc pour la 2,  Suffit-il de préciser que :

Soit n0=2 un entier naturel. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [7/5 ; 5]. Soit u la suite définie pour tout entier naturel n n0 par un=f(n).

Puis mettre la propriété.

Je propose des choses

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 14:57

Euh le n0 = 0, je me suis trompé

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 15:03

oui ça parait bien

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 15:07

Tu peux me donner un piste pour la deuxième partie de la question 3 car je bloque total

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 15:13

réalise des encadrements, pas à pas,
en partant de l'encadrement de Un obtenu dans question précédente

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 15:22

Même avec ton aide, je n'arrive pas à voir : il faut bien partir de 7/5<un<5

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 15:49

Il y a quelqu'un ?

Posté par
TheShy
re : Exercice Suites 15-05-19 à 17:28

Je up

Posté par
Barney
re : Exercice Suites 15-05-19 à 18:00

tu as montré que Un>7/5   donc 1/Un<5/7

Un+1 - 2 = (2-Un)(1/Un)  

tu peux donc montrer l'inégalité demandée ! (par division de la valeur abs)

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