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Exercice suites

Posté par
Comalte
03-11-19 à 17:18

Bonjour j'ai un problème avec cet exercice, je n'ai rien trouvé comme piste vous pouvez m'aider s'il vous plaît ?

J'ai que trouvé que un+1 - un = vn+1 - vn

Exercice 4
Soit (un)n≥0 et (vn) n ≥0 deux suites numériques telles que u0 =1 ; v0 =3 et telles que : un+1 = (un ² )/(vn + un)    et vn+1 = (vn² )/(vn + un)
On suppose que les suites (un) n ≥0 et (vn) n ≥0 sont à termes strictement positifs.
Déterminer les expressions de un et vn en fonction de n

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice suites 03-11-19 à 17:24

bonjour
tu as essayé d'évaluer u_{n+1}-v_{n+1} ?

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 17:40

Merci pour votre réponse.

J'ai bien trouvé que un+1 - vn+1  = un - vn , mais je ne sais pas quoi en faire

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 17:44

malou Sauf si je n'ai pas compris ce que ça veut dire "évaluer"

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 18:24

malou
Je viens aussi de trouver que un+1/vn+1=(un)²/(vn)² , mais je ne sais pas comment l'exploiter non plus...

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice suites 03-11-19 à 18:26

évaluer, calculer, exprimer....
fais le ! tu vas voir
la solution tient en 1 ligne

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 18:33

malouMerci encore, mais comment est ce que je peux calculer plus que ça puisque je n'ai pas plus d'informations dans le sujet ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice suites 03-11-19 à 18:39

têtu...

Citation :
J'ai trouvé que un+1 - un = vn+1 - vn


exprime un+1-vn+1

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 18:45

malou Désolé de vous embêter...

un+1 - vn+1  = un - vn

J'ai bien écrit cette expression au-dessus, mais ça ne répond pas à la consigne puisque je n'ai pas l'expression de un et de vn en fonction de n ?

Comment est-ce que je pourrais utiliser u0 et v0 en sachant seulement que ce sont des suites numériques ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice suites 03-11-19 à 18:48

Comalte @ 03-11-2019 à 18:45

malou Désolé de vous embêter...

un+1 - vn+1 = un - vn



ah tu avances là
je suppose que cette relation est vraie pour tout n....donc de proche en proche....tu arrives à u_0-v_0 ce qui à mon avis n'est pas inintéressant pour ton exo

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 19:06

malou Merci, j'arrive alors à :
un+1=-(un)²/2 et vn+1=-(vn)²/2

Il ne me reste plus qu'à trouver comment exprimer chaque suite en fonction de n...

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 19:20

malou Désolé de t'embêter encore, mais comment est ce que je pourrai utiliser le fait que les deux suites sont à termes strictement positifs ?

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 19:53

malou Je viens de me rendre compte que tout ce que j'ai écrit est faux ! Je suis vraiment perdu, je peux avoir une piste s'il vous plaît ?

Posté par
carpediem
re : Exercice suites 03-11-19 à 20:53

salut

donc u_{n + 1} - v_ {n + 1} = u_n - v_n = ... = u_0 - v_0 = -2

donc \forall n \in \N  :  v_n = u_n + 2

de plus \dfrac {u_{n + 1}} {v_{n + 1}} = \dfrac {u_n^2} {v_n^2} \Rightarrow \dfrac {u_n} {v_n} = \left( \dfrac 1 3 \right)^{2^n}

donc \forall n \in \N  :  u_{n + 1} = \dfrac 1 {1 + 3^{2^n}} u_n $ et $ v_{n + 1} = \dfrac 1 {1 + \left( \frac 1 3 \right)^{2^n}} v_n

et je doute qu'on puisse exprimer u_n et v_n en fonction de n ...

maintenant on peut toujours voir sur un tableur ce qui se passe ...

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 03-11-19 à 21:32

carpediemMerci, mais comment passes-tu d'une expressions à une autre ici s'il te plaît ?

** image supprimée **
Pour dupliquer une formule en LaTex, utiliser le code source du message (tout à gauche de l'horloge, en haut à droite du message).

\dfrac {u_{n + 1}} {v_{n + 1}} = \dfrac {u_n^2} {v_n^2} \Rightarrow \dfrac {u_n} {v_n} = \left( \dfrac 1 3 \right)^{2^n}

Posté par
lake
re : Exercice suites 03-11-19 à 21:47

Bonsoir,

M'enfin?

Citation :
et je doute qu'on puisse exprimer u_n et v_n en fonction de n ...


\begin{cases}u_n-v_n=-2\\\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{1}{3^{2^n}}\end{cases}

Un bête système...

Posté par
carpediem
re : Exercice suites 03-11-19 à 22:07

ha merdcredi !!! mais j'suis c... moi

merci lake

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice suites 04-11-19 à 08:10

Bonjour,
Perso, j'aurais plutôt travaillé avec \; v_n-u_n \; et \; \dfrac{v_n}{u_n} :

\begin{cases}v_n-u_n=2\\\dfrac{v_n}{u_n} = 3^{2^n}\end{cases}

Pour trouver la seconde égalité, on peut invoquer une petite suite géométrique en exposant.
Mais sans récurrence, je ne vois pas trop comment être rigoureux niveau 1ère.

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice suites 04-11-19 à 09:17

bonjour à tous
ben il va falloir effectivement mettre des points de suspension à mon avis.....qui est une récurrence cachée

Posté par
carpediem
re : Exercice suites 04-11-19 à 09:58

pour le quotient on peut (et doit) effectivement le justifier par une récurrence

Posté par
Comalte
re : Exercice suites 10-11-19 à 01:00

Merci mais comment vous avez trouvé la suite géométrique ?

Posté par
carpediem
re : Exercice suites 10-11-19 à 01:47

calcul mental élémentaire ...

Posté par
carpediem
re : Exercice suites 10-11-19 à 01:48

et à justifier ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice suites 10-11-19 à 08:32

Bonjour,
Pas si élémentaire et difficile à justifier rigoureusement en 1ère sans récurrence.
L'idée d'une suite géométrique en exposant vient de

Si \; \dfrac{v_{n}}{u_{n}} = 3^{k} \; alors \; \dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} = 3^{2k}

Posté par
carpediem
re : Exercice suites 10-11-19 à 09:23

ouais enfin !!

quand x_{n + 1} = x_n^2 le calcul de quelques termes consécutifs donne immédiatement le résultat

le montrer proprement en première est effectivement un peu plus difficile ...



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