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--->Exercice Suites, besoin d aide.
Hello, jespere que l'exercice n'a pas deja été posté, mais jai vraiment du mal avec le moteur de recherche : soit trop de sujet .. soit aucun :-/
Bon je me lance :
A)soit la fonction definie sur [-2;+oo[ par f(x)= racine(2+x)
1) Montrer que f est strictement croissante sur [-2;+oo[
2)Tracer la courbe C de f dans un repere orthormé d'unités 2cm : aucun probleme
B)Ondefinit la suite U(n) par U(0)=0 et U(n+1)= racine(U(n)+2) , n € N
1) a laide de la courbe C et de la droite dequation y=x, representer sur l'axe des abscisses : U(0),U1,U2,U3 : aucun probleme
2)Montrer par recurrence que pour tout n de N :
a) 0 
U(n) < 2
b)U(n) < U(n+1)
c) Que peut on en deduire pour la suite Un ?
3)
a)Montrer que U(n+1)-2 = (U(n)-2) / (racine(U(n)+2)+2
b)En deduire que |U(n+1)-2| 1/2 |U(n)-2|
c) Montrer par recurrence que |U(n)-2| (1/2) a la puissance (n-1)
d)En deduire que U(n) converge et preciser sa limite
4)Soit g la fonction definie sur ]-2;+oo[ par g(x)=2/3 (ax+b) racine(ax+b).
Determiner a et b pour que g`(x)=f(x)
Merci davance 
Bonjour Stoo,
Pour la question A1
Tu calcules la dérivée de ta fonction et elles est trivialement positive sur ]-2;+oo[ donc tu en déduit qu'elle est croissante sur [2;+oo[.
Pour la question A2
tu as dit que tu n'avais pas de problème.
Pour la question B1
tu as dit que tu n'avais pas de problème.
Pour la question B2
2a.
tu fais une récurrence :
* l'intialisation ne pose pas de problème .
* l'héridité : soit n un entier tel que 0u(n)<2
0u(n)<2
donc 2u(n)+2<4
la fonction qui à x associe racine de x est strictement croissante donc :
racine(2)racine(u(n)+2)u(n+1)<2
donc en particulier :
0u(n+1)<2
2b.
On procède par récurrence :
* l'intialisation ne pose pas de problème .
* l'héridité : soit n un entier tel que u(n+1)>u(n)
f étant strictement croissante les inégalité stricte sont conservées : f(u(n+1))>f(u(n))
c'est à dire u(n+2)>u(n+1)
2c.
u(n) est une suite croissante majorée donc elle converge vers une limite l de [0;2].
cette limite est un point fixe de f or f(l)=l équivaut à l élément de {-1;2} donc (u(n)) converge vers 2.
Pour la question B3
3a.
u(n+1)²-4=(rac(u(n)+2))²-4=u(n)+2-4=u(n)-2
or u(n+1)²-4=(u(n+1)-2)(u(n+1)+2)=(u(n+1)-2)(rac(u(n)+2)+2)
d'où l'égalité demandée.
3b.
la fonction h qui à x associe 1/(rac(x+2)+2) est trivialement décroissante sur [0;2] donc majorée par h(0)=1/(2+rac(2))<1/2
et donc d'après B.2.a on peut faire x=u(n)
et on obtient u(n+1)-2 = (u(n)-2) / (rac(u(n)+2)+2h(0)(u(n)-2)<(u(n)-2)/2
En utilisant encore B.3.a on a |U(n+1)-2| = |U(n)-2|
h(u(n))<|U(n)-2|/2
3c.
la récurrence ne pose pas de problème.
3d.
la suite (1/2n) est géométrique de raison inférieur à 1 donc converge vers 0
et donc la suite (u(n)-2) converge vers 0 et donc la suite (u(n))converge vers 2 (même si on le savait depuis B.2.c.
Pour le 4 j'ai pas le courage.
Salut
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