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Niveau Maths sup
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exercice suites numériques

Posté par
Hugo142857
23-08-17 à 18:52

bonjour à tous,

je suis tombé sur un exercice de limites que je n'arrive pas à résoudre, en voici l'énoncé :

soit u(n) une suite réelle telle que pour tous m, n  u(m+n)<=u(m)+u(n)
montrer que u(n)/n tend vers inf(u(l)/l)

merci d'avance pour votre aide.

Posté par
jeanseb
re : exercice suites numériques 23-08-17 à 19:23

Bonjour

Qui est l ? une limite (auquel cas un est convergente) ou une valeur d'adhérence ?

Posté par
jeanseb
re : exercice suites numériques 23-08-17 à 19:24

ou l est-il juste un indice de la suite?

Posté par
Hugo142857
re : exercice suites numériques 23-08-17 à 19:49

c'est pour l entier naturel comme si j'indexais

Posté par
jeanseb
re : exercice suites numériques 23-08-17 à 20:01

On peut demontrer par récurrence que ukn k.un pour k entier, ce qui entraine \dfrac {u_{kn}}{kn}\le\dfrac {u_{n}}{n}.
C'est peut-être un début

Posté par
jeanseb
re : exercice suites numériques 23-08-17 à 20:06

N'y a-t-il pas une hypothèse de suite un positive?

Posté par
etniopal
re : exercice suites numériques 24-08-17 à 10:55

Soit u :  *   telle que  u(p + q) u(p + u(q) pour tout (p,q) *² .
Soit m = Inf { u(n)/n | n * } .  ( Attention , m peut être  - )

Soient  t , s réels tels que s > t  > m  et N * vérifiant u(N)/N < t .

Maintenant on définit la suite n (q(n) , r(n))   * {0 , 2 ,.....,N - 1}  vérifiant  n = Nq(n) + r(n) . (On divise euclidiennement n par N .)
On a : u(n) q(n)u(N) + u(r(n))  (n - r(n))t  + c où c = Max{u(0) , u(2) , ....., u(N - 1)}
Donc  u(n)/n c/n + t(1 - r(n)/n)   .
Comme  ceci tend vers t quand n   + ,  il existe M * tel que u(n)/n < s pour n > M .

Si on regarde bien on a montré la proposition " s > m , M * tq   n > M ,  m u(n)/n < s "

Ceci prouve que u(n)/n m .

Posté par
etniopal
re : exercice suites numériques 25-08-17 à 00:32

Pour meubler cette fin de mois :

1.Montrer que si f : + est continue et vérifie f(x + y) f(x) + f(y) pout tout x 0  et tout y 0  alors f(x)/x m := Inf{ f(t)/t |  t > 0 } quand x + .

2.Comment montrer qu'il existe des u : qui soient sous-additives , mais pas de la forme n n .
Si oui peut-on en fabriquer explicitement ?

3Même question pour les f sous-additives sur +.

Posté par
carpediem
re : exercice suites numériques 25-08-17 à 12:18

la fonction x \mapsto \sqrt x est sous-additive ....

la fonction ln aussi ... et toute fonction concave devrait convenir ... ce me semble-t-il ...

Posté par
etniopal
re : exercice suites numériques 25-08-17 à 16:15

  .. Si a > 0 ,  x xa est sous-additive  sur + si a 1  et  sur-additive si a > 1 .

.. ln n'est pas sous-additive sur  +
     On n'a  ln(2x)   2ln(x) = ln(x²) que si x   2 .

   Il se peut qu'il y ait des intervalles  J ]0 , +[ tels que  ln soit sous -additive sur  J .

..x |x|/1 + x²) est sous-additive  sur .

..Si f est sous-additive   sur il en est de même pour |f|/(1 + f²)

....



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