bonjour à tous,
je suis tombé sur un exercice de limites que je n'arrive pas à résoudre, en voici l'énoncé :
soit u(n) une suite réelle telle que pour tous m, n u(m+n)<=u(m)+u(n)
montrer que u(n)/n tend vers inf(u(l)/l)
merci d'avance pour votre aide.
On peut demontrer par récurrence que ukn k.un pour k entier, ce qui entraine .
C'est peut-être un début
Soit u : * telle que u(p + q) u(p + u(q) pour tout (p,q) *² .
Soit m = Inf { u(n)/n | n * } . ( Attention , m peut être - )
Soient t , s réels tels que s > t > m et N * vérifiant u(N)/N < t .
Maintenant on définit la suite n (q(n) , r(n)) * {0 , 2 ,.....,N - 1} vérifiant n = Nq(n) + r(n) . (On divise euclidiennement n par N .)
On a : u(n) q(n)u(N) + u(r(n)) (n - r(n))t + c où c = Max{u(0) , u(2) , ....., u(N - 1)}
Donc u(n)/n c/n + t(1 - r(n)/n) .
Comme ceci tend vers t quand n + , il existe M * tel que u(n)/n < s pour n > M .
Si on regarde bien on a montré la proposition " s > m , M * tq n > M , m u(n)/n < s "
Ceci prouve que u(n)/n m .
Pour meubler cette fin de mois :
1.Montrer que si f : + est continue et vérifie f(x + y) f(x) + f(y) pout tout x 0 et tout y 0 alors f(x)/x m := Inf{ f(t)/t | t > 0 } quand x + .
2.Comment montrer qu'il existe des u : qui soient sous-additives , mais pas de la forme n n .
Si oui peut-on en fabriquer explicitement ?
3Même question pour les f sous-additives sur +.
la fonction est sous-additive ....
la fonction ln aussi ... et toute fonction concave devrait convenir ... ce me semble-t-il ...
.. Si a > 0 , x xa est sous-additive sur + si a 1 et sur-additive si a > 1 .
.. ln n'est pas sous-additive sur +
On n'a ln(2x) 2ln(x) = ln(x²) que si x 2 .
Il se peut qu'il y ait des intervalles J ]0 , +[ tels que ln soit sous -additive sur J .
..x |x|/1 + x²) est sous-additive sur .
..Si f est sous-additive sur il en est de même pour |f|/(1 + f²)
....
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :