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Niveau autre
exercice sur gamme musicale
Posté par snoop (invité)
l'énoncé exacte:les gammes musicales sont élaborées comme suit. On passe de la fréquence f1 d'une note à la fréquence f2 de la note directement supérieure, située un demi-ton au-dessus, en multipliant f1 par un coefficientconstant x:f2=xf1
dans le système de gamme pythagoricienne, on veut que la douzième note au dessus d'une note de fréquence f0 ait pour fréquence 2f0, et que la dix-neuvième note au dessus de f0 ait une fréquence égale à 3fo.
je veux surtout qu'on m'aide pas me donner les réponses toutes faites, me donner des pistes
1) quelles sont, en fonction de x et fo les fréquences des 2ème, 3ème,4ème et 5ème note au dessus de la note de fréquence f0?
(je ne comprends pas la question et surtout l'histoire des demi-tons si cela a un importance)
2)quelles seront donc les fréquences respectives de la 12ème et 19ème note au-dessus de f0, en fonction de f0 et x?
3) en déduire que le facteur x doit alors vérifier x puissance 12=2 et x puissance 13=3
4)résoudre l'équation de bézout: 12n1+19n2=1
5)pour laquelle des solutions valeur absolue de n1 et n2 sont-elles minimales?
6)on rappelle que pour tout nombre c, on a c puissance n-m=c puissance n/c puissance m. déduire des questions précédentes que le facteur x ci-dessus doit vérifier x=2 puissance 8/3 puissance 5
7)calculer une valeur approchée de x au millième près. (j'ai trouvé la réponse c'est 1,053
8)les instruments de musique baroque sont accordés en utilisant un LA de référence dont la fréquence est de 415 Hertz (c'est-à-dire 415 vibrations par seconde).Aujourd'hui, les instrumentistes utilisent un LA de fréquence égal à 440 Hertz.A combien de demi-tons de différence cet écart de fréquence correspond-il? (pour cette question je trouve un écart de 25 hertz mais je sais pas comment faire
Merci beaucoup j'attends votre aide avec impatience.
édit Océane : niveau renseigné
Bonjour,
je vous donne des exlications sur ce qu je pense avoir compris
On a par hypothèses, le fait que la fréquence de la note directement supérieur est reliée à la fréquence inféreiure avec f(n+1)=xf(n)
On a alors
f1=xf0
f2=xf1=x²f0
f3=xf2=x^3 f0
Par suite on peut alors écrire f4,f5, ...f12 en fonction de x et de f0 ( ca fait penser au suites géométriques)
....
f12= x^12 f0
f19= x^... f0 (je vous laisse cherhcer)
Comme x^12= 2, on a x= ...
On vérifie après que x^19 est bien égal à 3
4)
Il s'agit d'une équation diophantienne classique. Il existe au moins une solution car pgcd(12,19)=1
5) faut les résultats de la question 4, mais je l'ai pas faites, ca doit pas être spécialement compliqué.
Bonje fais la 4 et la 5 sur un autre post, parce que j'ai pas envie de perdre tout ce que j'ai fait avec un faux mouvement
Ayoub.
4)
Soit l'équation de bézout :
Algorithme d'Euclide:
19= 12*1+7 (4)
12= 7*1 + 5 (3)
7 = 5*1 +2 (2)
5 = 2*2 +1 (1)
donc pgcd(12,19)=1, E admet au moins une solution.
éléminons, les restes sucessifs
1= 5 - 2*2
1= 5 - (7-5)2= 5*3-7*2
1= (12-7)*3-7*2= 12*3 - 7*5
1= 12*3 - (19-12)*5=12*7 + 19*(-5)
Un couple de solution (E) est donc (n'1,n'2)=(7,-5)
Je passe toutes les autres étapes, on trouve finalement, l'ensemble des solution S de (E):
S={ (7+19k);(-5-12k) / k
}
5)
On a du bol car les valeurs absolues à trouver sont les solutions particulières qu'on a trouvé à savoir le couple (7,-5). En valeur absolu, c (7,5)
6) désolé, mais je comprends pas cette question.
7) le résultat que tu trouves est vrai, il suffit de faire une appliaction numérique. En plus, cette valeur vérifie à peuprès les équations x^12= 2 et x^19=3
Donc, ben voilà quoi.
8)
Ce que je ferais pour la 8, c ca.
On sait que pour passer d'une fréquence f(n) quelconque à la fréquence suivante f(n+1), on doit multiplier f(n) par x idempour f(n+2), ...
On appelle F la fréquence du LA baroque. et F' la contemporaine. 2valuer le nombre de demi ton existants, c résoudre :
F'=x^n * F (A)
L'inconnue étant n( le nombre de demi ton). En fait je m'aide de la question 2, là où on avait exprimer plusieurs fréquences en fonction de f0.
On peut donc résoudre (A):
(A)<==>x^n= F'/F
<==>
<==>
<==>
Application numérique
Je te laisse faire l'application numérique et conclure.
J'espère que c bon.
Ayoub.
Posté par snoop (invité)re : exercice sur gamme musicale
tout d'adord je tiens vraiment à te remercier ayoub, tu m'as vraiment éclairé.
Maintenant j'ai compris toutes tes réponses juste une question pour la 4 moi aussi j'avais trouvé comme solution 7 et 5 en tatonnant avec la calculatrice et je trouvais pa d'autres solutions et alors il ne faut pas mettre des nombres exactes pour les autres solutions.
encore merci