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Exercice sur l'arithmétique

Posté par
Morgan5967
01-11-20 à 14:24

Bonjour , je bloque sur un exercice et j'aimerai avoir de l'aide :

n et k désignent deux nombres entiers naturels non nuls.

a)Justifier l'égalité:
1+(4k+1)+(4k+1)²+...+(4k+1)^n-1= \frac{(4k+1)^{n}-1}{4k}


b) En déduire que \((4k+1)^{n}-1 est divisible par 4
c)Justifier alors que \(5^{n}-1 et \(13^{n}-1 sont divisibles par 4.

Pour l'instant je n'ai réussi qu'à faire la a) cependant la pour la suite je ne vois pas comment faire.
Merci d'avoir lu.

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 14:37

Bonjour
(4k-1)^n-1=(4k-1)^n-1^n

Posté par
LeHibou
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 14:41

Bonjour,

Dans l'égalité 1) que tu as démontrée, le terme de gauche est entier, le terme de droite l'est donc aussi.

Posté par
LeHibou
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 14:42

Bonjour PLSVU

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 14:52

Merci de vos réponses !

Donc nous avons : \frac{(4k+1)^{n}-1}{4k}= x donc {(4k+1)^{n}-1}=4kx ?

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 14:52

Bonjour LeHibou

Posté par
LeHibou
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 14:53

Citation :
Dans l'égalité 1) que tu as démontrée, le terme de gauche est entier, le terme de droite l'est donc aussi.

Ou plus simplement :
(4k+1)n -1 = 4k(1 + (4k+1)+...+(4k+1)n-1)

Posté par
LeHibou
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 14:54

Messages croisés

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:01

Ah et du coup le fait de mettre 4k en facteur veut bien dire qu'il est divisible par 4 vu que c'est du type b=ka ?

Posté par
LeHibou
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:07

Oui Si tu appelles par exemple G le terme de gauche et N le dénominateur du terme de droite, tu as :
G = N/4k
N = 4kG
N = 4*KG

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:07


Morgan5967     as- tu compris cette égalité ?
(4k+1)n -1 = 4k(1 + (4k+1)+...+(4k+1)n-1)

Posté par
LeHibou
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:09

Pardon, N = 4*kG

Posté par
LeHibou
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:11

Morgan5967, pas la peine d'être à plusieurs sur le sujet, je te passe la main

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:14

Oui on est parti de la premiere égalité puis on a multiplié les termes de gauches et les termes de droite par 4k , c'est cela ?

D'accord merci !

Posté par
HuaSheng
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:17

Bonjour
Essaie de dériver la formule

** image supprimée **
* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:21

HuaSheng
    ton intervention est fausse et inutile

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:25


Morgan5967

(4k-1)^n-1=(4k-1)^n-1^n

tu devrais reconnaitre une identité   a^n-b^n   qui  se factorise....

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:27

L'identité remarquable du type (a-b) (a+b) ?

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 15:32

    oui  quand n=2  
    c'est ce que t'as indiqué  LeHibou

Citation :
Ou plus simplement :
(4k+1)n -1 = 4k(1 + (4k+1)+...+(4k+1)n-1)

maintenant tu   peux justifier la réponse ....

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 16:18

D'accord donc nous avons au départ : (4k+1)n-1 = (4k+1)n-1n donc nous pouvons écrire : (4k+1)n-1 =
(4k+1 - 1) (
Après je ne vois pas comment retrouver (1 + (4k+1)+...+(4k+1)n-1

Mais la justification n'est pas valable si je montre que G = N/4k
                                                              Donc que             N = 4k*G ?

Désolé du temps de réponse j'ai eu un problème de réseau...

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 16:36


 a^2-1=(a-1)(a+1)
a^3-1=(a-1)(1+a+a^2)

(4k+1)n -1 = 4k(1 + (4k+1)+...+(4k+1)n-1)

a^n-1=(a-1)\sum_{k=0}^{n-1}{a^k}
OU   si tu développais

(4k+1)n   que dire de tous les termes  de la somme   à l'exception du dernier terme ?


Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 16:57

Ah d'accord donc oui (4k+1)n-1=(4k+1)n-1n donc (4k+1)n-1=(4k+1-1)(1+(4k+1)+(4k+1)²+...+(4k+1)n-1)


Je ne sais pas , qu'ils sont tous impairs vu qu'on additionne 1 à 4k ?

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 17:27

(4k+1)n-1=(4k+1)n-1n donc (4k+1)n-1=(4k+1-1)(1+(4k+1)+(4k+1)²+...+(4k+1)n-1) = produit de facteurs .
Que vaut le premier facteur ?

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 17:32

4k

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 17:36

par conséquent    le quotient est divisible par ....

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 17:44

4

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 17:51

ok
 {\red 4}*k\Sum_{k=0}^{n-1}a^{k} est divisible par  4
passe aux question suivantes

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 17:59

D'accord merci

Donc 5n-1= 5n-1n
          5n-1=(5-1)(1+5+5²+...+5n-1)
          5n-1=4(1+5+5²+...+5n-1)

Alors 5n-1 est bien divisible par 4.

13n-1= 13n-1n
13n-1=(13-1)(1+13+13²+...+13n-1)
13n-1=(4*3)(1+13+13²+...+13n-1)

Alors 13n-1 est bien divisible par 4.

Est-ce correct ?

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 18:04

ok

Posté par
Morgan5967
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 18:09

D'accord merci beaucoup pour votre aide bonne soirée !

Posté par
PLSVU
re : Exercice sur l'arithmétique 01-11-20 à 19:59

Bonne soirée et bon retour au lycée



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