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Niveau terminale
Exercice sur l'arithmétique
Posté par barka54
Bonsoir chers îliens et îliennes;
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice qui s'énonce par:
'' Un entier en base 10 s'écrit N=158b687a ; avec a<b.
1) Montrer que N est congru à 2+a modulo 4.
2) Déterminer les valeurs de a pour que N soit divisible par 4.
3)Déterminer les valeurs de a pour lesquelles le reste de la division euclidienne de N par 4 est 1.
4) Déterminer les couples (a,b) pour que N soit divisible par 11.
5) Déterminer N pour que N soit divisible à la fois par 3 et 25.
6) Écrire N en base 16 pour a=9 et b=0. "
Mon début
1) je l'ai montré.
2) N est divisible par 4 ssi 2+a soit égale à zéro(a=-2) ou que 2+a est multiple de 4 => (2+a)k=4 avec k € Z.
<=> ak=4-2k <=>
a=-2+4/k
3)Le reste de La division de N par 4 est 1 si :
2+a=1 (ie a=-1) ou si en général, a=4k-1
4) En appliquant la formule des critères de divisibilité par 11 je trouve l'équation a+b=11k+9 ...je bloque ici
Bonsoir,
2)
Citation :
2+a est multiple de 4 => (2+a)k=4 avec k € Z.
2+a est multiple de 4 => (2+a)k=4 avec k € Z.
Non, 2+a multiple de 4 équivaut à 2+a = 4k (k entier)
Oui
+ rappel a est un chiffre servant à l'écriture de N en base 10, donc quelles sont les possibilités ?
3) Oui, (sauf a = - 1 : pas pour un chiffre), et même commentaire qu'en 2)
co11 @ 06-11-2020 à 22:15
Oui
+ rappel a est un chiffre servant à l'écriture de N en base 10, donc quelles sont les possibilités ?
3) Oui, (sauf a = - 1 : pas pour un chiffre), et même commentaire qu'en 2)
Oui
+ rappel a est un chiffre servant à l'écriture de N en base 10, donc quelles sont les possibilités ?
3) Oui, (sauf a = - 1 : pas pour un chiffre), et même commentaire qu'en 2)
a doit alors 'e'tre positif
Rebonsoir
Je reprends ce que tu as dit précédemment :
Citation :
2) a=4k-2
2) a=4k-2
Et
Citation :
Les chiffres en base 10 sont 0;1...9 .
Les chiffres en base 10 sont 0;1...9 .
Alors, donne des valeurs à k et vois ce qui convient.
Cela vaut pour la question 2).
Pour 3) c'est un peu pareil. Je te cite, en rayant ce qui ne va pas.
Citation :
3)Le reste de La division de N par 4 est 1 si :
[quote]3)Le reste de La division de N par 4 est 1 si :
2+a=1 (ie a=-1) ou si en général, a=4k-1
3)Le reste de La division de N par 4 est 1 si :
[quote]3)Le reste de La division de N par 4 est 1 si :
2+a=1 (ie a=-1) ou si en général, a=4k-1
Bonsoir,
2)j'obtiens donc les valeurs suivantes de a:
k=0 ; a=-2
k=1 ; a=2
k=2; a=6
k=3; a=10
on retient les valeurs 2 et 6.
3) De même , pour:
k=0; a=-1
k=1; a=3
k=2; a=7
k=3; a=11
on prend les valeurs 3 et 7.
Oui ça ira. Je pense que tu peux même te contenter de donner les seules valeurs de a qui conviennent.
Pour la 4) une seule valeur de k convient.
Petite remarque, ta relation s'écrit aussi : a +b 
9 (11) et on peut trouver aussi les couples (a, b) qui conviennent
5) Pour que N soit divisible par 25 il faudrait que N se termine par 5 vu que l'avant dernier chiffre est 7. ainsi a=5.
Pour que N soit divisible par 3 il faut nécessairement que a+b+35=3k
<=> b=3k-40
pour k=14, b=2.
Mais ça ne verifie pas le fait que a<b (?)
Ainsi N=15826875.
6) En base 16, 15806879 s'écrit F1319F
Ok pour la question 4, on trouve bien 5 couples
5) Il n'y a pas que la valeur k = 14
Par ailleurs, si tu utilisais un peu plus les congruences comme te l'avait conseillé flight, tu te simplifierais peut-être un peu la vie.
Je te montre dans mon prochain post
6) je vérifie après
Je reviens à la question 5)
Partons par exemple de : b = 3k - 40
Cela équivaut à b + 40 = 3k ou b+ 40 divisible par 3 ou encore b + 40 0 (3)
Mais 40 = 42 -2, et 42 est divisible par 3.
Donc b + 40 divisible par 3 équivaut à b - 2 divisible par 3 (ou encore b - 2 0 (3))
Et au final tu obtiens : b = 3k +2, k entier
C'est plus facile de trouver b non ?
Un intérêt des congruences est qu'elles permettent de passer de grands nombres à des plus petits. Bon, ici, 40 ça va encore. Mais tu vas certainement avancer et là tu auras du mal à te passer de cet outil. Essaie de t'y exercer.
Citation :
Et au final tu obtiens : b=3k+2, k entier
C'est plus facile de trouver b non ?
Et au final tu obtiens : b=3k+2, k entier
C'est plus facile de trouver b non ?
Oui c'est vraiment plus aisé:
pour k=-1 ;b=-1
pour k=0; b=2
pour k=1; b=5
pour k=2; b=8
pour k=3; b=11
les valeurs possibles de b sont alors 2;5 et 8. vu que a<b et que a=5 le choix du chiffre serait sur 8.