Niveau Licence-pas de math

Exercice sur la distributio exponentielle

Posté par
archaic 24-09-20 à 05:50

Citation :
Supposons que le temps entre les arrivées de vols à un aéroport suit une distribution exponentielle avec une moyenne $\frac1\lambda$ d'une heure.
1) Quelle est la probabilité que plus de trois vols arrivent en une heure?
2) Si 30 intervalles séparés d'une heure sont choisis, quelle est la probabilité qu'aucun intervalle ne contient plus de trois arrivées?
3) Déterminez la longueur d'un intervalle de temps (en heures) de telle sorte que la probabilité qu'aucune arrivée ne se produise pendant l'intervalle soit de 0.1.

Je commence par le 3)
$\\ P(X<t)=0.1\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda t}=0.1\Leftrightarrow t=-\ln(0.9)$

1) J'avoue que je n'arrive pas à trouver la réponse. Je peux traduire le tout en une distribution de poisson de telle sorte que ma variable aléatoire représente le nombre d'arrivées, par contre :
$P(X>3)=1-P(X\leq3)=1-\sum_{i=0}^3\frac{1^ie^{-1}}{i!}\approx0.019$
J'avais pensé à un schéma de Bernoulli avec $p=\int_0^1f(x)dx$ la probabilité qu'un avion arrive en une heure, et de chercher, encore, $P(X>3)=1-P(X\leq3)$ , mais le résultat est différent de celui avec le modèle poisson (0).
Je ne sais pas ce que je devrais faire... pouvez-vous me guider un peu, s'il vous plaît?

2) Si je trouve $p$ la probabilité telle qu'un intervalle ne contient pas plus de trois arrivées, alors la probabilité qu'on me demande est, je pense, $p^{30}$ , puisque la distribution exponentielle a la propriété de "perte de mémoire".

Posté par re : Exercice sur la distributio exponentielle 24-09-20 à 09:19

Bonjour,

Ce qu'on te donne dans l'énoncé est bien un processus de Poisson. Pourquoi vas-tu chercher plus loin ?

Posté par re : Exercice sur la distributio exponentielle 24-09-20 à 10:25

GBZM @ 24-09-2020 à 09:19

Bonjour,

Ce qu'on te donne dans l'énoncé est bien un processus de Poisson. Pourquoi vas-tu chercher plus loin ?

Bonjour!
C'est dans un dm sur les distributions continues, du coup je me suis dit qu'il doit y avoir un équivalent en exponentielle.
Merci!

Sinon, pour la 2ème question, c'est bien $\left(P(X\leq3)\right)^{30}$ (poisson), non? (et ce sont des intervalles de 1h, pas séparés par 1h)

Posté par re : Exercice sur la distributio exponentielle 24-09-20 à 10:50

Oui, mais Siméon Denis Poisson a bien droit au respect de son patronyme.

Posté par re : Exercice sur la distributio exponentielle 24-09-20 à 11:23

salut

la derniere question est simple avec T = 1/