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Niveau terminale
Exercice sur la trigonométrie
Posté par nina888
Bonsoir, j'ai un exercice en maths à faire. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Voilà l'énoncé:
M appartient au demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1, H est son projeté orthogonal sur [AB]. On note t la mesure en radians de BAM telle que 0<=t<pi/2.
1) Donner une mesure en radian de BOM.
2) En déduire que l'aire du triangle HAM est égale à f(2t) où f est la fonction définie sur [0;pi[ par f(x)=1/2(1+cosx)sin(x).
3) a- Montrer que f'(x)=(cosx-1/2)(1+cosx) pour tout réel x de l'intervalle [0;+l'infini[.
b- Etudier le signe de cos x - 1/2 et de 1+cosx sur [0;+l'infini].
c- En déduire le signe de f'(x) sur [0;+l'infini[.
4) Déterminer la mesure de l'angle BAM telle que l'aire du triangle HAM soit maximale. Calculer cette aire.
1) Revoir la valeur de l'angle au centre BOM interceptant le même arc que l'angle inscrit BAM.
2) L'aire d'un triangle triangle est le demi produit des côtés de l'angle droit.
3)
4) Le tableau de variation de f que tu obtiendras une fois établi e signe de f'(x) permet de conclure.
Pour la question 1, j'ai mis:
Triangle AMO est isocèle, et la somme des angles c'est = pi donc:
l'angle AOB = pi
et l'angle AOM=pi -2t
et l'angle BOM= AOB-AOM = pi-(pi-2t) = 2t.
Comment puis-je justifier le "2t" s'il vous plaît ?
Bonjour,
le 2t vient de la somme des angles OAM et OMA.
c'est ça qui manquait dans l'esprit de nina888, à défaut de savoir juste citer la propriété générale des angles insrits, du cours (des années d'avant)
Merci, pour la question 2, j'ai mis:
AH = 1+OH car le demi cercle est de rayon 1.
AO=1 et OH= cos BOM et HM=sin BOM et comme HAM est un triangle rectangle j'ai mis (HM*AH)/2= [(sin BOM)*(1+cos BOM)]/2 =1/2*(1+cos 2t)*(sin2t) comme on a vu que BOM = 2t.
Pouvez-vous me dire si c'est juste s'il vous plaît ?
Bonsoir: pour la question 3) a- j'ai fait:
f'(x)= -1/2 + cos²(x) + 1/2cos(x)
Je n'arrive pas à faire la suite, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
cos²(x) + 1/2 cos(x) -1/2 est un trinome de la forme U² +1 /2 U - 1/2, en posant U = cos(x)
le factoriser ...
3.b) Pour étudier le signe de cosx - 1/2 , je te suggère de procéder graphiquement.
Trace un cercle trigonométrique et portes-y les angles ayant un cosinus égal à 1/2 .
Puis observe pour quelles valeur de x son cosinus est supérieur ou inférieur à 1/2 .
Quant au signe de cosx + 1 , aucune difficulté.
f'(x)=U(U+1/2) - 1/2 .
tu ne sais pas factoriser un trinome ??? c 'est pas factorisé ça !
factoriser c'est la forme a(U-u1)(U-u2)
delta etc, ou via la forme canonique, ou solution évidente etc,
méthode au choix.
et à la fin tu remplaces U pas cos(x)
autre méthode dans ce genre d'exos où la solution est donnée dans l'énoncé (montrer que ceci cela) :
développer la formule donnée dans la question, et vérifier que ça redonne la formule de f'(x) que tu as calculée en dérivant.
Merci Priam, pourrais-tu m'aider pour la question 3)a- ?
Je dois factoriser U² +1 /2 U - 1/2.
Je trouve f'(x)=U(U+1/2) - 1/2.
Mais je ne trouve pas f'(x)= (U-1/2)(1+U).
Tu peux factoriser ce trinôme soit en calculant ses racines, soit en le mettant sous forme canonique.
Tu peux aussi procéder "à l'envers" en développant la forme factorisée de la dernière ligne et en montrant qu'on aboutit alors au trinôme de la première ligne.
Pour la question 3-b, j'ai fait:
cos(x)-1/2>=0
S= -pi/3;pi
1+cos(x)>=0
S= -l'infini;+l'infini.
Pour le tableau de signe, j'ai fait:
pour x=0;pi/3 et pi
Pouvez-vous me dire si c'est bon s'il vous plaît ?
Oui et pour l'équation cosx - 1/2>=0 j'ai trouvé S=-pi/3;pi/3.
J'ai fait le tableau de signe et je trouve que f'(x) est négative.
Est-ce juste ?
- pi/3: pi/3 : oui.
Mais, pour l'intervalle prescrit [0; + oo[ , on écrit [- pi/3 + 2kpi; pi/3 + 2kpi], en excluant de - pi/3 à 0 .
Comment se présente ton tableau de signes ?
Dans la question précédente, tu as normalement étudié la fonction f
et donc dressé le tableau de variation de cette fonction.
Cela te permet de conclure sur la valeur de x qui rend f(x) maximum de [0 ; pi[
Pour les variations de f, j'ai trouvé positif puis négatif.
Je ne sais pas quelle méthode utiliser pour trouver la valeur de x qui rend f maximum.
c'est faux. f est toujours positive sur [0 ; pi]
C'est le signe de f' (la fonction dérivée) qui est positif puis négatif.
Et donc comment varie la fonction f ?
non
c'est pi/3
ne pas confondre
la valeur de l'angle (en radians) pour laquelle l'aire est maximale
et la valeur maximale de l'aire (en unité d'aire = aire d'un carré de côté 1).