Bonsoir,
J'aimerais que vous m'aidiez avec cet exercice dont l'énoncé est:
Exercice
Soit ABC un triangle, on pose BC=a, AC=b et AB=c. On note A', B' et C' les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB]. G est l'isobarycentre des points A,B,C. k est un réel.
1) En utilisant le théorême de la médiane, montrer les égalités suivantes:
a) GB²+GC²=½GA²+½BC²
b) GB²+GA²=½GC²+½AB²
c) GA²+GC²=½GB²+½AC²
2) En déduire que GA²+GB²+GC²=⅓(a²+b²+c²).
3) À tout point M du plan , on associe le réel f(M)=MA²+MB²+MC².
a) Montrer que pour tout point M du plan, f(M)=3MG²+⅓(a²+b²+c²).
b) On désigne par ()
l'ensemble des points M du plan tel que f(M)=k. Déterminer suivant les valeurs de k, la nature de l'ensemble ().
c) On suppose que a=b=c, déterminer et construire ().
Mon début
1) G est l'isobarycentre des points A,B,C donc G est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Ainsi GA=GB=GC.
Dans le triangle ABC, le théorème des médianes peut s'écrire AB²+AC²=2AA'²+½BC²
J'ai essayé d'utiliser la propriété de Chasles en "inserant" le poit G mais je n'y arrive toujours pas à montrer ces égalités. Auriez-vous une piste?
Bonsoir,
Il se pourrait que G est le point d'intersection des médianes. Il serait donc le centre de gravité du triangle ABC.
2) je l'ai montré ( GA²+GB²+GC²=⅓(a²
+b²+c²).
3.a) C'est bon aussi (f(M)=3MG²+⅓(a²+b²+c²).
b) f(M)=k => 3MG²+⅓(a²+b²+c²)=k
=>
pour k=0 , on obtient un ensemble vide.
pour k>½(a²+b²+c²), on obtient un cercle de centre G.
pour k= ½(a²+b²+c²) , => MG=0
L'ensemble (Lk) est le point {G}
?
c) L'ensemble est L'ensemble Lk pour k=4a².
Ainsi f(M)=4a² ;f(M)=3MG²+a² car a²+b²+c²=3a².
Ainsi, 3MG²+a²=4a² => MG=a.
Donc L'ensemble est le cercle de centre G et de rayon r=a
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