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Exercice sur les barycentres.

Posté par
barka54
21-05-20 à 22:33

Bonsoir,
J'aimerais que vous m'aidiez avec cet exercice dont l'énoncé est:
Exercice
Soit ABC un triangle, on pose BC=a, AC=b et AB=c. On note A', B' et C' les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB]. G est l'isobarycentre des points A,B,C. k est un réel.

1) En utilisant le théorême de la médiane, montrer les égalités suivantes:
a) GB²+GC²=½GA²+½BC²
b) GB²+GA²=½GC²+½AB²
c) GA²+GC²=½GB²+½AC²

2) En déduire que GA²+GB²+GC²=⅓(a²+b²+c²).

3) À tout point M du plan , on associe le réel f(M)=MA²+MB²+MC².

a) Montrer que pour tout point M du plan, f(M)=3MG²+⅓(a²+b²+c²).

b) On désigne par ( L_k)
l'ensemble des points M du plan tel que f(M)=k. Déterminer suivant les valeurs de k, la nature de l'ensemble ( L_k).

c) On suppose que a=b=c, déterminer et construire ( L_{4a^{2}}).

Mon début

1) G est l'isobarycentre des points A,B,C donc G est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Ainsi GA=GB=GC.
Dans le triangle ABC, le théorème des médianes peut s'écrire AB²+AC²=2AA'²+½BC²
J'ai essayé  d'utiliser la propriété de Chasles en "inserant" le poit G mais je n'y arrive toujours pas à montrer ces égalités. Auriez-vous une piste?

Posté par
lake
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 00:12

Bonsoir,

Citation :
1) G est l'isobarycentre des points A,B,C donc G est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.


  Es-tu sûr ?

1) commence par écrire le théorème de la médiane dans le triangle GBC:

   GB^2+GC^2=?

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 07:24

Bonjour,
Le théorème
de la médiane dans le triangle GBC est
GB²+GC²=2GA'²+½BC²

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 07:26

lake @ 22-05-2020 à 00:12

Bonsoir,

Citation :
1) G est l'isobarycentre des points A,B,C donc G est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.


  Es-tu sûr?


Non pas très sûr ... j'ai juste consideré le fait que ce point G est situé à égal distance des points A,B et C.

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 07:36

Il se pourrait que G est le point d'intersection des médianes. Il serait donc le centre de gravité du triangle ABC.

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 07:54

GB²+GC²=2GA'²+½BC²
Or \vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AA'}
De la , je trouve que \vec{GA'}=\frac{1}{2}\vec{AG}.
==> GB²+GC²=2(½GA)²+½BC²
==> GB²+GC²=½GA²+½BC²

Posté par
pfff
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 07:57

barka54 @ 22-05-2020 à 07:24

Bonjour,
Le théorème
de la médiane dans le triangle GBC est
GB²+GC²=2GA'²+½BC²


Bonjour GA =...GA'

Posté par
pfff
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 07:58

Oui c'est ça

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 09:00

2) je l'ai montré ( GA²+GB²+GC²=⅓(a²
+b²+c²).
3.a) C'est bon aussi  (f(M)=3MG²+⅓(a²+b²+c²).


b) f(M)=k => 3MG²+⅓(a²+b²+c²)=k
=>  MG=\sqrt{\frac{k}{3}-\frac{1}{6}(a^2+b^2+c^2)}
pour k=0 , on obtient un ensemble vide.

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 09:04

pour k>½(a²+b²+c²), on obtient un cercle de centre G.
pour k= ½(a²+b²+c²) , => MG=0
L'ensemble (Lk) est le point {G}
?

Posté par
lake
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 09:32

Oui avec une petite erreur;

   la valeur charnière est \dfrac{1}{{\red 3}}(a^2+b^2+c^2)

  et si k  =\dfrac{1}{ 3}(a^2+b^2+c^2), M=G

   L_k est réduit au point G

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:01

oui vraiment j'ai écris ½ au lieu de ⅓!

Posté par
lake
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:12

Oui et remarque aussi que le rayon du cercle quand il existe vaut:

 \sqrt{\dfrac{k}{3}-\dfrac{1}{{\red 9}}(a^2+b^2+c^2)}

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:13

c) L'ensemble  L_{4a^2} est L'ensemble Lk pour k=4a².
Ainsi f(M)=4a² ;f(M)=3MG²+a² car a²+b²+c²=3a².

Ainsi, 3MG²+a²=4a² => MG=a.
Donc L'ensemble  L_{4a^2} est le cercle de centre G et de rayon r=a

Posté par
lake
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:14

Voui!

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:16

lake @ 22-05-2020 à 10:12

Oui et remarque aussi que le rayon du cercle quand il existe vaut:

 \sqrt{\dfrac{k}{3}-\dfrac{1}{{\red 9}}(a^2+b^2+c^2)}

Okay, super!

Posté par
lake
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:17

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:37

voici la construction que j'ai trouvé:

Exercice sur les barycentres.

Posté par
lake
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:39

Oui!

Posté par
barka54
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:42

Je vous remercie /\ !

Posté par
lake
re : Exercice sur les barycentres. 22-05-20 à 10:44

De rien pour moi barka54 (pfff n'a pas démérité!)



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