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Niveau Maths sup
exercice sur les complexes
Posté par marcsa
Bonsoir à toutes et tous,
Pourriez-vous, s'il vous plaît m'aider pour cet exercice sur les complexes. J'ai réussi (je pense) les 3 premières questions mais bloque sur les 2 dernières.
Voici l'énoncé:
1. Calculer les racines complexes de l'équation: z2-1/5z+1/10=0
On notera z1 la racine de partie imaginaire positive et z2 l'autre racine.
2. Justifier qu'il existe un unique réel 
0 
[0,
/2[ tq tan(0)=3
3. Montrer que z1=cos(0)+isin(0)/10cos(0)
et z2= cos(0)-isin(0)/10cos(0)
On pose, pour tout n
, vn=z1n+z2n
Montrer que vn est un nombre réel que l'on exprimera en fonction de n et 0
5. Montrer que 10cos(0)=
10. En déduire que (vn) est convergente et déterminer sa limite.
Mes réponses:
1. z1= 1/10+3/10i
z2=1/10-3/10i
2. sUR [0;/2[, tan est strictement croissante à valeurs dans [0;+
[. Or 3[0,+[ donc d'après le théorème de la bijection il existe une unique solution 0 tq tan(0)=3.
3. cos(0+isin(0)/10cos(0)= 1/10 + i/10 tan(0)
Or tan(0))= 3 donc on a 1/10+3/10i= z1
idem pour z2
4. c'est là que je bloque , je ne sais pas sous quelle forme il faut mettre z1 et z2 et je ne vois pas comment montrer que c'est un réel
5. idem, je n'y arrive pas
Merci d'avance,
Bonne soirée
Bonsoir
Mettre sous la forme
et même chose pour
Pour la 5/, utiliser le fait que produit des racines de l'équation est égal à
oui mais les exponentielles vont s'annuler non?
pour la 5/ je ne vois pas comment à partir de cela, on peut montrer l'égalité souhaitée et trouver la limite
Merci
Mais pour la somme les exposants n me dérangent, je ne vois pas comment exprimer en fonction de n et de téta
Et comment en déduire la convergence et la limite ?
merci mais je ne vois pas le lien entre les questions 4 et 5
je ne vois pas comment montrer qu'elle est convergente
et je ne vois pas comment vous passez cette étape :v_n=\dfrac{2cos(n\theta_0)}{10^ncos^n\theta_0}=\dfrac{2cos(n\theta_0)}{10^{\frac{n}{2}}}
Dans l'ordre.
Le lien entre 4/ et 5/. Il n'est pas évident, sauf à utiliser la calculatrice de voir que . Alors on nous fait établir que c'est égal à
A partir de là, on peut affirmer que
La limite de . Le numérateur est borné puisque
. Comme le dénominateur tend vers
tend vers
Enfin, comment on passe de...à..., tout simplement en remplaçant par la valeur qu'on vient de calculer.
Que dire de plus ?