Bonjour, je reprends les études et je suis carrément rouillé. Si vous le voulez bien j'ai besoin d'aide pour la 5eme question de mon exercice merci beaucoup.

On considère l?équation (1) d?inconnue z ci-dessous :

        z² + z + 1 = 0         (1)

On notera dans tout l?exercice j = -1/2+ i(3)/2

1. Résoudre dans C l?équation (1). On notera dans la suite z2 la solution de (1) qui n?est pas égal à j.

Réponse:
= 12 - 4 × 1 ×1 = ?3 < 0
z1 = -1 + i(3)/2
z2 = -1 - i(3)/2

2. Déterminer le module et l?argument de j et de z2 puis donner leur forme exponentielle.

Réponse:
|j| = [(-1/2)² + (?(3)/2)²] =1
|z2| = [(-1/2)² + (-?(3)/2)²] =1
|j| = |z2|

j = |j| (cos + i sin) avec =arg(j)

Cos= -1/2     Sin= (3)/2

= 2/3
j = cos 2/3  + i sin 2/3
j= 1e^i 2/3

z = |z| (cos+ i sin) avec =arg(j)

Cos= -1/2     Sin= -(3)/2

= -2/3
z = cos -2/3  + i sin -2/3
z= 1e^-i 2/3

3. Démontrer que :
(a) z2 = j²

Réponse:
j²=[(-1/2) + (i(3)/2]² =(-1/2)² +2*(-1/2)*(i(3)/2)+((3)/2)² = -1/2 - i(3)/2 = z2

(b) j³ = 1

Réponse:
[(-1/2) + (i(3)/2]³ = [(-1/2)² +2*(-1/2)*(i(3)/2)+((3)/2)²][(-1/2) + (i(3)/2]=1
(J'ai développé ceci et je tombe bien sur 1 mais je pense qu'il y a une autre méthode parce que la ça me fais faire un énorme calcul. Après je tombe bien sur 1 donc bon...)

(c) j + z2 = ?1

Réponse:
-1/2 + i(3)/2 + (-1/2) - i(3)/2 = - 1/2 -1/2= -1

4. (a) Démontrer que si a et b sont deux nombres complexes quelconques

a³ + b³ = (a + b)(a + jb)(a + j²b)

Réponse:
(a + b)(a + jb)(a + j²b) = (a+b)[a+(-1/2 + i(3)/2)b][a+(-1/2 + i(3)/2)²b]
Je développe et j?arrive sur=(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

(b) Résoudre alors dans C l?équation z3 + 8 = 0

Réponse:
z³+8 = z³+2³=0
(z+2)(z²-2z+4)
z=-2
ou
=-2²-4*1*4=-12

z1= [2+i(12)]/2 =1+(3)
z2= [2-i(12)]/2 =1-(3)

5. Soit a, b, c trois nombres complexes vérifiant l?égalité a + jb + j²c = 0. Et soit A, B, C les trois points du plan d?affixe respectives a, b, c
(a) Démontrer que a - c = j(c - b)

Et c'est la que je bloque je ne vois pas comment faire j'ai essayé de développer a + jb + j²c  mais je ne trouve pas le rapport avec  a - c = j(c - b). Si quelqu'un pourrait m'aiguiller ça serait très gentil merci.

(b) En déduire que AC = BC
(c) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

_{**titre modifié**}