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Niveau Maths sup
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exercice sur les complexes merci d'avance

Posté par
choupy90
17-10-09 à 20:06

voila j'ai un exercice de dm a faire pour lundi mais je n'y arrive pas a le faire. pouvez vous m'aidez?

1) Rappeler l'identité remarquable  permettant de factoriser an - bn. En déduire pour q un complexe distinct de 1 la formule:
          n
         q(1-qn) / (1-q)
         k=1

2) Montrer que (1/2)exp(i pi/3) / (1- (1/2)exp(i pi/3)) = i/3

3) Calculer les sommes :

        n                                       n
Cn = (1/2k)cos(kpi/3) et Sn= (1/2k)sin(kpi/3)
        k=1                                   k=1

Posté par
LeFou
re : exercice sur les complexes merci d'avance 17-10-09 à 20:25

Bonsoir,
1) Qu'as tu fais ? As tu trouvé la formule ?
2) Il suffit de remplacer ei/3
3)Ajouter les deux sommes  pour avoir
En= de k=1 à n de: (1/2k) ek/3
Et Cn= Re(En)
Sn=Im(En)

Posté par
LeFou
re : exercice sur les complexes merci d'avance 17-10-09 à 20:25

J'ai oublié un "i" dans l'exponentielle désolé.

Posté par
ptitjean
re : exercice sur les complexes merci d'avance 17-10-09 à 20:39

Bonjour,

Pour rappel, on a
a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-1})=(a-b)\Bigsum_{k=0}^{n-1}b^{k}a^{n-k-1}

Puis tu poses dans la formule ci-dessus a=1 et b=q

Tu peux alors montrer que
1-q^n=(1-q)\Bigsum_{k=0}^{n-1}q^{k}

et donc
\frac{q(1-q^n)}{1-q}=\Bigsum_{k=1}^{n}q^{k}, ceci étant bien sûr valable pour q1

La question 2, je te laisse le faire en multipliant le dénominateur par son conjugué

La question 3, en reprenant la formule de la question 1 et en posant q=\frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}
Puis tu sépares les parties imaginaires et réelles pour obtenir les sommes en cosinus et sinus.

Ptitjean

Posté par
choupy90
re : exercice sur les complexes merci d'avance 17-10-09 à 20:44

merci beaucoup de ton aide! c tré gentil de ta part
j'essaye de le faire, et si vraiment je n'y arrive pas, je te rapellerais
merci encore

Posté par
choupy90
re : exercice sur les complexes merci d'avance 17-10-09 à 20:49

LEfou j'ai essayé de faire comme toi pour la question 2 mais en remplacant les exponentielles par les cosinus et les sinus apré je n'arrive pas a retrouvé ce qu'il faut trouvé,c'est pour ca

Posté par
choupy90
re : exercice sur les complexes merci d'avance 18-10-09 à 00:46

rebonjour tout le monde
j'ai essayé de faire vos méthodes a tout les deux mais pas réussi a trouvez les bons résultats.
pouvez vous m'aider?

Posté par
ptitjean
re : exercice sur les complexes merci d'avance 18-10-09 à 09:40

re-bonjour,

ca devrait pourtant être largement de ton niveau ! (la Question 2 est de niveau terminal)
e^{\frac{i\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}

d'où
F=\frac{e^{\frac{i\pi}{3}}}{2-e^{\frac{i\pi}{3}}

F=\frac{\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}

F=\frac{1+i\sqrt{3}}{3-i\sqrt{3}}

F=\frac{(1+i\sqrt{3})(3+i\sqrt{3})}{12}


F=\frac{4i\sqrt{3}}{12}

F=\frac{i\sqrt{3}}{3}

F=\frac{i}{\sqrt{3}}

Maintenant, la question 3, en remplacant q par \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}

on obtient
\frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}.\frac{1-(\frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}})^n)}{1-\frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}}=\Bigsum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}})^k

\frac{i}{\sqrt{3}}.(1-\frac{1}{2^n}e^{\frac{ni\pi}{3}})=\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}e^{\frac{ki\pi}{3}}


\frac{i}{\sqrt{3}}.(1-\frac{1}{2^n}e^{\frac{ni\pi}{3}})=\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}(cos(\frac{k\pi}{3})+i.sin(\frac{k\pi}{3}))

\frac{i}{\sqrt{3}}.(1-\frac{1}{2^n}e^{\frac{ni\pi}{3}})=C_n+iS_n

Donc C_n=Re(\frac{i}{\sqrt{3}}.(1-\frac{1}{2^n}e^{\frac{ni\pi}{3}})) et S_n=Im(\frac{i}{\sqrt{3}}.(1-\frac{1}{2^n}e^{\frac{ni\pi}{3}}))

Je te laisse finir le calcul.

Ptitjean



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