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Niveau seconde
Exercice sur les droites et cercles du plan
Posté par teyo
Bonjour/bonsoir, j'aimerais être aidé sur l'exercice suivant:
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon r, M un point quelconque du plan.
1)Soit [IJ] un diamètre de (C). Démontrer que le produit scalaire MI.MJ ne dépend pas du diamètre [IJ] choisi.
2)Une droite passant par M coupe (C) en deux points P et Q. Soit P' le symétrique de P par rapport à O.
Démontrer que: MP . MQ=MP . MP'
3)En déduire que MP . MQ reste constant lorsque P décrit (C).
Merci déjà pour le temps et l'attention apportés à cet exercice ainsi qu'à mon égard .
bonsoir teyo,
1) tu peux essayer de décomposer MI = MO+OI et MJ = MO + OJ
alors
MI.MJ = .....
2)
MP. MQ = MP.(MP' + P'Q) = MP.MP' + MP.P'Q
qu'est ce qui permet de dire que MP.P'Q = 0 ??
Bonjour, avant de répondre à ta question j'aimerais te poser une : avec MI = MO+OI et MJ = MO + OJ , MI.MJ =MO²+MO . (OJ+OI) +OI.OJ; est ce qu'en écrivant cela j'ai démontrer ce qu'il fallait ?
Pour ce qui est de te question ce qui permet de dire que MP.P'Q = 0 c'est le fait que P' et P sont symétrique par O
bonjour
je ne fais que passer
MO²+MO . (OJ+OI) +OI.OJ
(OJ+OI) =0
OI.OJ=-1*r² car vect OI et OJ colinéaires , de même norme et de sens contraire.
Donc MI.MJ=MO² -r²
=> le produit scalaire MI.MJ ne dépend pas du diamètre [IJ] choisi.
Citation :
2)Une droite passant par M coupe (C) en deux points P et Q. Soit P' le symétrique de P par rapport à O.
Démontrer que: MP . MQ=MP . MP'
2)Une droite passant par M coupe (C) en deux points P et Q. Soit P' le symétrique de P par rapport à O.
Démontrer que: MP . MQ=MP . MP'
MP.MP'=MP(MQ+QP')=MP.MQ+MP.QP'
or
PP'Q est rectangle en Q
donc MP.QP'=0
d'où
MP . MQ=MP . MP'
teyo,
1) kenavo27 t'a montré que finalement on arrive à MI.MJ=MO² -r²
tu as compris pourquoi ?
2) oui, P et P' sont symétriques par rapport à O ==> PP' est un diamètre et comme Q est sur le cercle, le triangle PP'Q est rectangle en Q. Les droites PQ et P'Q sont perpendiculaires.
C'est ça qui te permet de dire que MP.QP'=0 (et non pas simplement le fait que P et P' sont symétriques). Tu vois ?
3) puisque PP' est un diamètre, en t'appuyant sur la question 1, tu peux écrire
MP.MQ = MP.MP' = MI.MJ=MO² -r²
et conclure.
OK ?