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Niveau seconde
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Exercice sur les droites et cercles du plan

Posté par
teyo
18-05-17 à 23:50

Bonjour/bonsoir, j'aimerais être aidé sur l'exercice suivant:
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon r, M un point quelconque du plan.
1)Soit [IJ] un diamètre de (C). Démontrer que le produit scalaire MI.MJ ne dépend pas du diamètre [IJ] choisi.
2)Une droite passant par M coupe (C) en deux points P et Q. Soit P' le symétrique de P par rapport à O.
Démontrer que: MP . MQ=MP . MP'
3)En déduire que MP . MQ reste constant lorsque P décrit (C).
Merci  déjà pour le temps et l'attention apportés à cet exercice ainsi qu'à mon égard .

Posté par
Leile
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 00:14

bonsoir teyo,

1) tu peux essayer de décomposer MI = MO+OI  et MJ = MO + OJ
alors
MI.MJ  =  .....

2)
MP. MQ = MP.(MP' + P'Q)  =  MP.MP'   +  MP.P'Q
qu'est ce qui permet de dire que MP.P'Q = 0 ??

Posté par
teyo
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 10:07

Bonjour, avant de répondre à ta question j'aimerais te poser une : avec MI = MO+OI  et MJ = MO + OJ , MI.MJ  =MO²+MO . (OJ+OI) +OI.OJ; est ce qu'en écrivant cela j'ai démontrer ce qu'il fallait ?

Pour ce qui est de te question ce qui permet de dire que MP.P'Q = 0 c'est le fait que P' et P sont symétrique par O

Posté par
kenavo27
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 11:37

bonjour
je ne fais que passer
MO²+MO . (OJ+OI) +OI.OJ

(OJ+OI) =0


  OI.OJ=-1*r² car vect OI et OJ colinéaires , de même norme et de sens contraire.

Donc MI.MJ=MO² -r²

=> le produit scalaire MI.MJ ne dépend pas du diamètre [IJ] choisi.

Posté par
kenavo27
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 11:44

Citation :
2)Une droite passant par M coupe (C) en deux points P et Q. Soit P' le symétrique de P par rapport à O.
Démontrer que: MP . MQ=MP . MP'

MP.MP'=MP(MQ+QP')=MP.MQ+MP.QP'
or
PP'Q est rectangle en Q
donc MP.QP'=0
d'où
MP . MQ=MP . MP'

Posté par
Leile
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 12:07

teyo,

1) kenavo27  t'a montré que finalement on arrive à MI.MJ=MO² -r²
tu as compris pourquoi ?

2) oui, P et P' sont symétriques par rapport à O  ==> PP' est un diamètre et comme Q est sur le cercle, le triangle PP'Q est rectangle en Q.  Les droites PQ et P'Q sont perpendiculaires.
C'est ça qui te permet de dire que MP.QP'=0   (et non pas simplement le fait que P et P' sont symétriques).    Tu vois ?

3)  puisque PP'  est un diamètre, en t'appuyant sur la question 1, tu peux écrire
MP.MQ  = MP.MP' = MI.MJ=MO² -r²
et conclure.

OK ?

Posté par
teyo
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 13:23

OK
Merci pour tout j'ai bien compris

Posté par
kenavo27
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 13:38

est-ce vraiment du niveau seconde ?

Posté par
Leile
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 13:40

kenavo27,
teyo est en seconde au Cameroun : les programmes sont différents..
Bonne journée

Posté par
kenavo27
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 13:42

merci Leile que je salue

Posté par
teyo
re : Exercice sur les droites et cercles du plan 19-05-17 à 17:50

Comme  Leile le dit, je suis en seconde scientifique au Cameroun.
Merci Leile pour ta réponse .

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