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exercice sur les équations fonctionelles
Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant:
Nous nommons E un ensemble de fonctions dérivables sur ]0;+
[ où quels que soient les réels strictement positifs c et d: f(cd)= c f(d)+ d f(c).
Nous notons f1 la fonction définie sur ]0;+[ par f1(x)= xln(x).
Questions:
a) Montrez que toute fonction de la forme kfv où k est un réel appartient à E.
b) Montrez que si f 
à E, alors f(1)=0
c) Montrez que si, f E, alors pour tout réel x de ]0;+[ : xf'(x)-f(x) = xf'(1).
d) Soit la fonction g définie sur ]0;+[ par g(x)= f(x)/x . Calculez g'(x) et déduire g(x) ainsi que f(x) pour tout réel strictement positif x.
e) Maintenant, vous devez déduire que si fE, alors f est de la forme kfv où k est un réel.
f) En tirer une conclusion
Mes réponses:
a) On note kfv (a) où:
fv(ka) = kfv(a)+ afv(k) ....
b) Si fE, alors f1E, vérifions f1(1) = 1ln(1) = 0
c) Faut-il s'aider de la relation de l'énoncé où c=x et d=y ?
Merci pour votre aide
Bonsoir
c'est quoi ?
dans la deuxième question, tu ne montres pas que c'est vrai pour toutes les fonctions de E, c'est-à-dire les fonctions vérifiant . Voilà comment il faut s'y prendre :
Soit dérivable vérifiant
pour tous
Essaie avec des valeurs particulières de c et d pour trouver l'égalité que tu veux
Bonsoir, désolé pour l'erreur, fv=f1 (j'ai lu v car le 1 était confondu avec une virgule... 
)
a) J'ai essayé de faire ceci: kf1(x)= x ln(x)
--> f1(xk) = x f1(k) + k f1(x)
---> f(xk) = xf(k) + kx ln(x) .... c'est bizarre...
b) On note c= d=1
Donc f(1)= 1*f(1)+1*f(1)
=f(1)+f(1) = 0+0 = 0
c) ???
Merci encore pour votre aide
Bonsoir,
Tu ne sembles pas avoir compris les sens des questions posées.
f1 est une fonction précise.
Pour que tu comprennes mieux l'énoncé, je te propose un préliminaire :
Démontrer que f1 appartient à E.
C'est à dire que pour tout c et d réels positifs on a f1(cd)= c f1(d)+ d f1(c).
Dans ce but, tu écris à quoi est égal f1(cd) d'une part.
Tu écris à quoi est égal cf1(d)+df1(c) d'autre part.
Tu démontres qu'il y a égalité entre les deux expressions.
Bonjour merci pour votre aide.
J'ai dans votre cas f1(cd) = cf1(d)+df1(c) où:
*f1(cd) = cd*ln(c)+cd*ln(d)
* cf1(d)+df1(c) = cd*ln(d) + dc*ln(c)
Donc f1(cd) = cf1(d)+ df1(c)
J'ai donc appliqué le même principe pour le a):
démontrons maintenant que kf1 appartient à E, c'est à dire que pour tout c et d réels positifs on a kf1(cd)= ckf1(d) + dkf1(c)
*kf1(cd) = k (cd*ln(c)+cd*ln(d))
*ckf1(d)+dkf1(c) = k(cd*ln(d)+dc*ln(c))
Donc kf1(cd)=ckf1(d)+dkf1(c)
Alors kf1, où k est un réel, appartient à E
2) f(cd) = cf(d)+ df(c)
On note c=0,5 et d=2
Alors f(1) = 0,5*f(2)+2*f(0,5) ....
Pour la suite je suis perdu
Merci pour votre aide
Tu veux prendre c=0.5 et d=2 parce que cd=1, ce qui est la chose à faire
Mais tu es sûr que tu ne pourrais pas faire plus simple dans le choix de cd ?
Bonjour,
J'ai fais a =b=12=1 où :
f(1)=1*f(1)+1*f(1)= f(1)+f(1)=0+0....
Je sais pas si c'est correct , merci pour votre aide
f(1)=1*f(1)+1*f(1)= f(1)+f(1)=0+0 : pourquoi 0+0 ?
En revanche, f(1)=1*f(1)+1*f(1)= f(1)+f(1) te permet de calculer f(1)
Bonsoir, merci pour votre réponse et désolé de répondre que maintenant.
Justement avec "f(1)=f(1)+f(1)" je ne vois comment trouver f(1)=0
Je déduis 2 possibilités:
-avec f1(1)=1*ln(1)
-on reprend f(1)=0
Merci pour votre aide
Bonjour, merci pour votre réponse:
On note f(1)=x
x+x=x
x=0
Alors f(1)=0
c) Je suppose qu'il faut faire le lien avec f(ab) = a f(b) + b f(a) et f(1) = 0 mais je ne vois pas. Merci si vous me donnez une nouvelle fois un indice, bonne journée.
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