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exercice sur les fonctions
Je vous en prie, aidez-moi... Je suis en 2nde et je n'arrive
pas à faire cet exercice :
[AB] est un segment de longueur 4 et [BC] un segment perpendiculaire de
longueur 9. [Cz) est une demi-droite perpendiculaire à [BC]. Soit
s un cercle de centre C et de rayon x élément de[0;+infini[. s coupe
[Cz) en M et [BC] en P. Le segment [AM] coupe [BC] en N. On veut
répondre aux questions suivantes :
Q1 : Pour quelles valeurs de x N et P sont-ils confondus ?
Q2 : Pour quelles valeurs de x N est-il à l'extérieur de s ? Quand
N est à l'extérieur de s, quelle est la plus grande distance
entre N et P ?
1) Montrer que, pour tout x élément de R+, CN= 9x / 4+x.
2) On pose f(x)=9x / 4+x définie sur R+. Montrer que f(x)=9- (36 / 4+x)
3) Montrer que f(x) est supérieur ou égal à 0 et est strictement inférieur
à 9.
4) Par la méthode de votre choix, montrer que f est décroissante sur
R+.
5) Pour quelles valeurs de x a-t-on CN=7 ? CN inférieur ou égal à 4
?
6) ON pose h(x)= x-9 + (36/ 4+x) pour x élément de R+. Montrer que h(x)=
PC-NC.
7) Montrer que h admet -1 pour extremum sur R+. Préciser si -1 est un
minimum ou un maximum.
8) Etablir le tableau de signes de x-9 + (36/4+x).
9) En déduire les solutions de h(x)=0 et h(x) inférieur ou égal à 0.
10) Répondre aux questions Q1 et Q2 en utilisant ce qui précède.
Aidez moi s'il vous plait car je pourrais corriger cet exercice et
pouvoir enfin avoir une note raisonnable. Merci de votre compréhension.
ophélie
Salut Ophélie
Alors allons y pour qq éléments d'aide
Tout d'abord pour avoir un dessin correct moi g pris AB vertical
avec A en haut BC perpendiculaire avec C à droite de AB et surtout
Cz perpendiculaire à BC donc parallèle à AB mais dirigée vers le
bas
Ensuite
1) tu cherches CN
soit M' projeté orthogonal de M sur (AB)
Et N' projeté orthogonal de N sur (MM')
Tu as donc bien dans le triangle AMM' AM' parallèle à NN' et
MM' perpendiculaire à AM'
donc tu peux écrire d'après thalés dans le triangle rectangle AMM'
MN'/MM'=NN'/AM' maintenant calculons ces différentes distances
MN' est égale à CN et NN'=CM=x puisque CNN'M est un rectangle (d'après
la définition du projeté orthogonal)
MM' = BC =9 et BM'=CM=x puisque BCMM' est un rectangle (idem) donc AM'=AB+BM'=4+x
Donc en remplaçant dans notre relation de thalès on a CN/9 = x/(4+x)
donc
CN= 9x/(x+4)
2) c facile y'a qu'à mettre f(x)=9-36 / (4+x) au mm dénominateur et tu
retombes sur l'autre expression de f(x)
3) sur R+ f(x)=9x / (4+x) or sur R+ : 9x supérieur ou égal à 0 et x+4
aussi donc f(x) également
f(x)=9-36/(4+x) étudions le signe de f(x) - 9= -36/(4+x)<0
donc f(x)<9
4) alors la y'a un os dans cette question en effet f est croissante sur R+
car
f(x)=9-36/(4+x) se comporte comme -1/x qui est croissante sur R+
5) facile y'a qu'à résoudre 9x/(4+x)=7 et 9x/(4+x) -4 < 0
6) PC=x d'après l'énoncé donc PC-CN= x- f(x)= x-9 + (36/ 4+x) =h(x)
7) Alors la tu triches un peu tu traces ta fonction h(x) sur la calculatrice
graphique et tu constates que h(x) possède un minimum qui est -1
donc il faut que tu le prouves maintenant
8) Donc h(x)>-1 h(x)+1>0 x-8+36/(x+4)>0 [(x-8)(x+4)+36]
/ (x+4)>0 (x²-4x+4) / (x+4)>0 (x-2)² / (x+4)>0
or (x-2)² est toujours >0 et sur R+ (x+4)>0 donc tout est vrai et
on peut remonter grâce aux ( ce sont des équivalent à) jusqu'à
h(x)> -1 donc -1 est bien un minimum de h
9) Etablir le tableau de signe c fastoche y'à qu'à réduire h au mm dénominateur
et faire le tableau
10) Le tableau te donnera les x pour que h(x)=0 et tu liras là où h(x)<0
11) Or h(x) représente PC-CN (d'après 6) donc h(x) =0 représente PC=CN
soit P et N confondus et h(x) < 0 représente PC<CN c'est-à-dire
quand N est hors du cercle s et enfin la distance PN la plus longue
c'est lorsque h atteint son extremum et alors la disatnce vaut pas
- 1 évidemment mais sa valeur absolue soit 1
Voila à plus
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