Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice sur les intégrales
Bonjour!
J'ai besoin de votre aide pour un exercice sur les intégrales:
La suite In est définie pour tout entier naturel n par
In = somme de 0 à 1 (e^(nx))/(1+e^x)
1)
a) Calculez Io puis Io+I1
Déduisez en Io
b) Pour tout naturel n, calculez In+I(n+1)
2) Prouvez que pour tout x dans l'intervalle [0;1]:
(e^(nx))/(1+e)<=(e^(nx))/(1+e^x)<=(e^(nx))/2,
puis donnez un encadrement de In.
3) Déduisez en les limites des suites (In) e (In/e^n)
Bon ben moi je retoune y réfléchir sur mon bureau pendant 2 heures maxi
mais si entre temps vous avez une idée ou des pistes, ne vous genez
pas pour répondre.
Merci.
Auu revooiir!
Bonjour Laëtitia 
1)
a) I1=I(0;1)(exp(x)/(1+exp(x)) dx
= [ln(exp(x)+1)](0;1)
=ln(e+1)-ln(2)
Io+I1 = I(0;1)(1)dx=1
Donc I0=1-I1
b) In+In+1
=I(0;1)(exp(nx))(1+exp(x))/(1+exp(x)) dx
=I(0;1)exp(nx)dx
=[1/n exp(nx)](0;1)=(exp(n)-1)/n
2) pour tout x dans l'intervalle [0;1]:
exp(0) <= exp(x) <= exp(1)
1 <= exp(x) <= e
donc
1/(1+e) <= 1/(1+exp(x)) <= 1/2
Donc
(e^(nx))/(1+e)<=(e^(nx))/(1+e^x)<=(e^(nx))/2,
En intégrant membre à membre :
(exp(n)-1)/(n(1+e)) <= In <= (exp(n)-1)/2n
3) lim (In) = +oo car lim( exp(n)-1/n(1+e))=+oo
et lim (In/e^n)=0.
@+
Merci Victor!
Tes résultats concordent avec ceux que j'ai trouvé au bout d'une
heure de réflexion (je sais je suis lente).
Merci
Annuler
connectez vous