Bonsoir,

Il ne faut pas chercher une primitive de l'une et de l'autre séparément, mais de la somme des 2.

En d'autres termes, regarde si ne serait pas la dérivée d'une certaine fonction.

je pensais à la forme u(x)*v(x)

Mais là ça parait un peu complexe

et finalement,    je trouve que sa primitive est x→x²(lnx)^n

2) je trouve donc que cette relation est egale à e².
3-a) je voudrais montrer que I_n+1 - I_n≥0
mais je vois que c'est pas très simple...  
j'ai remplacé donc n par n+1 dans dans la relation precedente ,
2I_n+1 + nI_n=e²

Je n'avais pas correctement recopié, il s'agissait de dont une primitive est effectivement ce que tu as trouvé.

Ensuite, as-tu démontré que la suite est décroissante ?

Pour 3a/, il faut que tu fasses la différence des 2 intégrales.
La relation de récurrence ne sert pas là.

Pour montrer que In est décroissante, je dois montrer que I_n+1  - I_n≤0.
... Donc je fais la difference des intégrales.
Je determine d'abord une primitive de
x→x(lnx)ⁿ+¹ - x(lnx)ⁿ
Je ne vois pas la forme auquelle elle ressemble...

Non, c'est plus simple que ça.

Si et   de signe constant sur , que peut-on dire du signe de    ?

je pense que le signe I depend du signe constant de f.

Il en dépend, oui. Sous les hypothèses énoncées, I est du signe de f.

f serait positif alors, et dans ce cas, In l'est aussi?

est positif, oui, mais il te faut regarder le signe de

À partir des valeurs de I_0 et I_1 , I_n+1 - I_n est négatif, je ne vois pas comment le deduire dans un cas general

... et tu appliques ce qu'on vient de voir

Comme
1<e et f est positif sur [1;e]  => I_n+1 - I_n<0 ?

, ici, c'est la fonction définie par

Quel est son signe sur ?

f a un signe positif dans cet intervalle

Si la fonction que j'ai appelée à 13h59 est positive sur l'intervalle , alors est croissante. Vu la question posée, on est fortement enclin à penser que c'est faux...

Met en facteur dans l'expression qui définit   et regarde cela de plus près !!

oh vu que x(lnx)ⁿ est positif sur cet intervalle, le signe de f est de lnx-1 qui est negatif.

Oui, mais il faut dire pourquoi, même si c'est évident.

en fait lnx-1 s'annule en e. j'ai donc fait un tableau de signe pour deduire le signe

mais l'inegalite de 3-b m'echappe vraiment ...je ne sais quelle piste emprunter

Dans une somme de termes positifs, si tu remplaces l'un d'entre eux par un terme plus petit, tu obtiens une somme plus petite.

On vient de voir que   ...

Donc si j'ai une somme S=I_n + I_(n+1) + I_(n+2) , constituée des termes positifs de la suite In, et que je remplace par exemple I_(n+1) par un terme plus petit I_(n+2) , alors S< I_n + I_(n+2)+I_(n+2) ?

Non, tu obtiens une nouvelle somme, plus petite que la somme initiale.
Dans ton exemple I_n + I_(n+2)+I_(n+2) <S.

Pour démontrer 3b/, on te dit d'utiliser la formule de récurrence.

Non, tu pars de la relation de récurrence entre et .
Que se passe-t-il si tu y remplaces par ?

En remplaçant cela, on a
2I_n + nI_n<2I_n + nI_(n-1)

Oui. N'oublie pas que le membre de droite est égal à e² et que tu peux mettre I_n en facteur dans celui de gauche.

<=> I_n(2+n)<e²
<=> I_n<e²/(n+1)

I_n<e²/(n +2)

Il te reste l'autre partie de l'inégalité à démontrer. Pour celle-là aussi il faut partir de la relation de récurrence...
Je te laisse réfléchir.

Je transforme d'abord la relation de reccurence en 2I_(n+1) + (n+1)I_n=e²
En remplaçant donc In+1 par In, la somme devient grande: 2In + (n+1)In>e² d'où In > e²/(n+3) .
L'inégalité est donc montré.
J'aimerais aussi savoir si l'inégalité large de l'énoncé ne dérange pas...

3c/ À l'aide du théorème des gendarmes, j'ai montré la limite de In est 0 et celle de nIn est e² lorsque n tend vers +∞.

Il vaut mieux laisser l'inégalité large, oui, car l'inégalité stricte n'est pas indispensable.

Voilà, c'est donc fini. A toi de remettre tout ça en ordre.

Merci beaucoup à vous!