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Exercice sur les integrales

Posté par
Amarouche1 06-04-21 à 19:42

Bonjour,
Bonjour,
On pose : I = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt
I- On considere la fonction F definie sur [\frac{\pi }{2},\pi ] par : F(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x}{\frac{sin(t)}{t}}dt , et la fonction G definie sur : [0,\frac{1}{2}] par : G(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x}{\frac{sin(\pi t)}{1-t}}dt
1) Montrer que pour tout x\in [0,\frac{1}2{}] :
G(x)=F(\pi )-F(\pi (1-x))
2) En deduire que : I= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{sin(\pi t) }{1-t}}dt
II- Soit (Un) la suite definie par : Un= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^n sin(\pi t)}dt
1)Calculer U_{0} et U_{1} et montrer que pour tout n\geq2 : U_{n} = \frac{1}{n^2}( \frac{n}{2^{n-1}}-n(n-1)U_{n-2})
2) Montrer que : I=\sum_{k=0}^{n-1}{U_{k}+R_{n}} avec :R_{n}= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^n \frac{sin(\pi t)}{1-t}}dt
3) Montrer que pour tout t de [0 , 1/2] : {t^n \frac{sin(\pi t)}{1-t}}\leq 2t^n pui en deduire que pour tout n\geq 2
\mid R_{n}\mid \leq \frac{1}{(n+1)2^n}
4) Montrer que : I = \lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=0}^{n-1}{U_{k}}
5) Determiner une valeur approche de I a 10^{-2} pres

Voila on commence par I- 1) ...
G(x)=F(\pi )-F(\pi (1-x)) \Leftrightarrow \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x)}{\frac{sin(t)}{t}}dt = \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt
\Leftrightarrow
\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x) }{\frac{sin(t)}{t}}dt + \int_{\pi (1-x)}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x)}{\frac{sin(t)}{t}}dt = \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt
\Leftrightarrow
\int_{\pi (1-x)}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -= \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt
apres je ne trouve comment demontrer cette egalite ...
Merci d'avance

malou edit > allez ! je suis allée rechercher ton message correct en physique

Posté par
malou Webmasterre : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 19:52

Bonjour
et tu mettrais les bornes Ltx, ça serait pas mal

Posté par
Amarouche1Exercice sur les integrales 06-04-21 à 19:55

Bonjour,
On pose :I = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt

I- On considere la fonction F definie sur [pi/2 , pi]  par : F(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x}{\frac{sin(t)}{t}}dt
, et la fonction G definie sur : [0,\frac{1}{2}]
par : G(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x}{\frac{sin(\pi t)}{1-t}}dt

1) Montrer que pour tout x\in [0,\frac{1}2{}] :

G(x)=F(\pi )-F(\pi (1-x))

2) En deduire que : I= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{sin(\pi t) }{1-t}}dt

II- Soit (Un) la suite definie par : Un= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^n sin(\pi t)}dt

1)Calculer U_{0} et U_{1}
et montrer que pour tout n\geq2 : U_{n} = \frac{1}{n^2}( \frac{n}{2^{n-1}}-n(n-1)U_{n-2})

2) Montrer que : I=\sum_{k=0}^{n-1}{U_{k}+R_{n}} avec :R_{n}= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^n \frac{sin(\pi t)}{1-t}}dt

3) Montrer que pour tout t de [0 , 1/2] :{t^n \frac{sin(\pi t)}{1-t}}\leq 2t^n
puis en deduire :
\mid R_{n}\mid \leq \frac{1}{(n+1)2^n}

4) Montrer que : I = \lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=0}^{n-1}{U_{k}}
5) Determiner une valeur approche de I a 10^{-2} pres

Voila on commence par I- 1) ...
G(x)=F(\pi )-F(\pi (1-x)) \Leftrightarrow \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x)}{\frac{sin(t)}{t}}dt = \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt \Leftrightarrow
\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x) }{\frac{sin(t)}{t}}dt + \int_{\pi (1-x)}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x)}{\frac{sin(t)}{t}}dt = \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt
\Leftrightarrow \int_{\pi (1-x)}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -= \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt



apres je ne trouve comment demontrer cette egalite ...
Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 20:08

salut

quand on veut montrer que A = B on ne commence pas par A = B ...

je pose p = \dfrac \pi 2


F(\pi) - F(\pi (1 - x)) = \int_p^\pi \dfrac {\sin t} t dt - \int_p^{\pi(1 - x)} \dfrac {\sin t} t dt = \int_{\pi (1 - x)} ^\pi \dfrac {\sin t} t dt = ...

et maintenant il faut trouver le bon changement de variable ...

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 20:24

on cherche un changement de variable u = f(t) ou t = f(u) tel que t \in [\pi(1 - x), \pi] \iff u \in [x, p]

je ne vois pas pour l'instant mais je commencerai bien par t = \pi(1 - x)u ...

*** message déplacé ***

Posté par
Amarouche1re : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 20:50

Tout a fait ... j'ai reussi enfin a aboutir a G(x) en utilisant deux changements de variable Merci .
Pour II- 2) je ne sais pas comment se comporter avec integrale dans un sigma ..

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 21:11

lesquels ?

tant que la somme est finie tu peux permuter somme et intégrale

déjà calculer la somme des u_n puis simplifier et voir ce qui reste ...

*** message déplacé ***

Posté par
Amarouche1re : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 21:40

calculer la somme des u_n puis simplifier ...
Ca demande d'utiliser l'expression de u-n II)1) ??

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 22:00

déjà la relation de récurrence se simplifie ... ensuite ça doit surement se télescoper ...

*** message déplacé ***

Posté par
Amarouche1re : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 22:14

Ouiiiii ! Merci pour vos indication ( Changement de variable et la somme des telescope )

*** message déplacé ***

Posté par
matheuxmatoure : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 22:58

bonsoir
c'est pas le même sujet que là :(Lien cassé) ?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice sur les integrales 07-04-21 à 09:19

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
lakere : Exercice sur les integrales 07-04-21 à 12:38

Bonjour,

Citation :
... et la fonction G definie sur : [0,\frac{1}{2}] par : G(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x}{\frac{sin(\pi t)}{1-t}}dt


Je soupçonne une erreur d'énoncé ici :

   \begin{aligned}G(x)=\int_{{\red 0}}^x\dfrac{\sin\,\pi t}{1-t}\,\text{d}t\end{aligned}

Posté par
carpediemre : Exercice sur les integrales 07-04-21 à 12:42

ha merci ... car je ne trouvais pas ces bornes très cohérentes !!

Posté par
lakere : Exercice sur les integrales 07-04-21 à 13:13

... et une autre là :

  

Citation :
... montrer que pour tout n\geq2 : U_{n} = \frac{1}{n^2}( \frac{n}{2^{n-1}}-n(n-1)U_{n-2})


    U_{n} = \frac{1}{{\red \pi}^2}( \frac{n}{2^{n-1}}-n(n-1)U_{n-2})



  


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