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Exercice sur les intégrales
Bonjour, j'espère que tout le monde va bien, j'ai un exercice sur les intégrales que je trouve plutôt complexe, et je n'arrive pas à le faire...
En?voici son énoncé :
On considère la suite (In) définie pour tout entier naturel n par In= \int_{0}^{1}{xn*ex2}
1)calculer I1
2)Comparer pour tout entier naturel n, xn+1 et xn sur l'intervalle [0;1]. En déduire le sens de variations de la suite (In)
3)a) Montrer que pour tout entier naturel n, 1/(n+1)
Ine/(n+1)
b) Que peut on en déduire pour la suite (In)
Voilà l'énoncé, j'ai réussi à répondre à la 1) en remplaçant n par 1, et je trouve (e1-1)/2
Mais je bloque à la question 2) j'ai essayé de me débrouiller avec les inégalités mais je n'aboutit à rien...
Merci? de? ?votre lecture en espérant que quelqu'un puisse m'aider
Bonjour Mathieuu
2) Sur [0;1], voir le signe de en factorisant. Puis conservation de l'ordre par intégration, vous avez un th.
Je vous laisse chercher la suite , dites moi bien si ça coince. Bonne recherche...
J'ai donc xn+1
xn
Vu que ex2 est strictement positif sur [0;1]
On aurait donc In strictement croissante sur [0;1]
Et apres je passe à la 3)a)?
C'est trop rapide, il faut d'abord comparer les termes sous l'intégrale puis intégrer en invoquant la conservation de l'ordre par intégration.
Je crois que j'ai compris, voilà ce que j'ai fais :
xnxn+1
xn*ex2xn+1 *ex2
Comme il y a conservation de l'ordre par l'integration:
xn*ex2xn+1 *ex2
InIn+1
Bien sur je rajoute les bornes sur l'intégrale
Ok je vais essayer de faire ça, juste entre votre réponse a la 2) et la mienne les inégalités sont inversés, c'est une erreur de ma pars ?
On n'a jamais demandé de comparer et
On a juste demandé de comparer et
soit d'étudier le signe de sur
La question 2 est
Comparer pour tout entier naturel n, x^{n+1} et x^{n} sur l'intervalle [0;1]
C'est tout ce qu'il faut faire dans un premier temps et après oui comparer les intégrales
au temps pour moi
Ah donc c'est bon, nickel, et donc maintenant pour le 3)a) il faut que je retrouve un encadrement, on m'a dit de partir avec des réels mais je ne vois pas comment je peux retomber sur mes pâtes...
Ouais c'est mieux, je vais clôturer la question 2) afin d e pas poser trop de question sur la suite alors que les questions d'avant ne sont pas tellement maîtriser, donc voilà ce que je ferais :
xn+1-xn=xn(x-1)
Sur l'intervalle considère, (x-1)0
Donc xn(x-1)0
On en déduit que xn+1xn
Oui en remarquant que xn0. C'est bon.
D'accord Hekla. Merci .
Je vous laisse. Je suis pris.
Bonne soirée à tous les deux!
Pas de problème, bonne soirée maintenant je rajoute ce que j'avais écris avant avec les intégrales et c'est good
Ok c'est cool j'ai finis la 3)a),il suffisait de tout remplacer et de calculer des intégrales merci beaucoup, maintenant pour le 3)b), je dis juste que In est donc strictement décroissante sur [0;1] et minorée par 1/(n+1) et majoré par e/(n+1)?
on sait que or
par conséquent
On en déduit alors que
Ceci est équivalent a en multipliant les deux membres de l'inégalité
par puis en intégrant on a alors
La suite est décroissante
En gros, un résumé de la question 2 à compléter par quelque théorème
Remarque mais
Ok parfait, je vais rédiger ça au propre, merci beaucoup, pour la question 3)b) il faut en déduire quoi les minorants et majorants ?
La suite est encadrée par deux suites convergeant vers 0 donc elle converge vers 0
Th dit des gendarmes Soient 3 suites telles qu'à partir d'un certain rang
et
un réel si
C'est bien ce que l'on a
Ahhh d'accord j'avais pas bien compris, si le théorème des gendarmes c'etais pour celle là de question ou l'autre,
Ben merci beaucoup de votre aide, les notions sont plus claire, je vous souhaite une bonne continuation
Merci
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