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Exercice sur les Matrices
Bonjour, pourriez vous m'aider, je n'arrive pas à commencer cette exercice :
Soit une matrice
A = ( 2 2 1)
(1 3 1)
(1 2 2)
a) Montrer qu'il existe P ∈ M3 (ℝ) inversible telle que
P^(-1) AP = (1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 5)
b) Calculer la matrice P-1.
c) Soit n ∈ N*. Déterminer l'expression de A^n en fonction de n.
d) Considérons les trois suites (x_n) n ∈ N , (y_n) n ∈ N et (z_n) n ∈ N définies par :
{x_0, y_0 et z_0 trois réels données
x_(n+1)=2x_n+ 2y_n+ z_n
y_(n+1)=x_n+ 3y_n+ z_n
z_(n+1)=x_n+ 2y_n+ 2z_n } ∀n ∈ N
Déduire des questions précédentes les expressions de x_n , y_n et z_n en fonction de n et des données initiale x_0,y_0 et z_0.
Merci d'avance pour vos réponse.
bonjour
valeurs propres / vecteurs propres / polynôme caractéristique / diagonalisation ...
cela t'évoque quelque chose ?
on a vu l'action sur les lignes et les colonnes, matrice inverse, matrice triangulaire, comme définir une base, les sous-espaces vectoriels
oui... la chose me parait un peu brutale tant qu'on n'a pas vu la diagonalisation et les matrices de changement de base !
sinon on peut toujours prendre son courage à deux mains et résoudre le système à 9 inconnues (les coefficients de P) donné par AP=PD
(D étant la matrice diagonale donnée)
Pourriez vous m'expliquer comme faire avec la diagonalisation et les matrices de changement de base ?
Bonjour
as-tu vu la formule de changement de base pour les matrices d'application linéaire ?
si oui, tu sais que le problème posé revient à chercher deux vecteurs colonnes C qui vérifient AC = A, et un dernier qui vérifie AC = 5C : tu résous ces systèmes, et tu auras les trois colonnes de P
C'est bien comme ça que tu me dit de faire ?
On pose : E = ( x apparient a R^3 tel que Ax = x ) et F = ( x apparient a R^3 tel que Ax = 5x) sont des sous espace vectoriel de R^3.
E ( 2x + 2y + z = x
x +3y + z = y
x + 2y + 2z = z
Donc E= ( (x, y, -x -2y), x, y appartenant a R )
De la même manière : F = ( z, z ,z), z appartenant a R)
On pose B une base de F :
B=( (1, 1, 1) )
et C une base de E :
C = ( (1, 0, -1), (0, 1, -2) )
soit P= (-2 -1 1)
( 1 0 1)
( 0 1 1)
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