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Niveau Maths sup
exercice sur les polynomes
Posté par carl7
Salut tout le monde.
J'ai du mal avec l'exercice suivant:
Trouver tout les polynomes P de C[X] verifiant:
P(U) inclus dans U avec U={z dans C tels que |z|=1}
Merci
Bonjour
D'abord c'est clair que c'est vrai pour P(X)=a[/sub]Xn si |a[sub]n|=1 Comme ça au pif, je dirais que ce sont les seuls. En fait, on veut que , alors regarde si ça mène à quelque chose...
Procède par analyse/synthèse, ça devrait venir.
Analyse : Soit tel que
.
Soit . Comme l'a dit Camélia : il existe
tel que
.
En écrivant , on obtient...
A toi la suite et n'oublies pas la synthèse 
salut pece.
j'ai exprimé P(exp(it)) , je suis meme arrivé à avoir un systeme de vandermonde, mais je n'arrive pas a montrer la nullité des coefs de P a part le coef dominant.
j'ai aussi essayer de calculé P*(conjugué de P) mais je n'obtiens rien.
Tu ne pourrais pas detailler plus ta démarche?
Moi j'avais juste lancé l'idée de l'analyse/synthèse sans trop d'idée derrière la tête.
En revanche, à y réfléchir un petit peu tout à l'heure, j'écrirai plutôt P sous sa forme factorisée :
Avec le coefficient dominant et les
les racines dans
de P.
Donc
Et ensuite j'essairais de prouvé que tous les sont nuls (par l'absurde ?), mais je n'ai pas d'idée immédiate là...
Bonjour,
soit f(z) un polynôme de degré n vérifiant l'hypothèse.
Soit B le produit de Blashke formé sur les 0 de f:
Considérons g(z)=f(z)/B(z) et appliquons le principe du maximum.
Le résultat en découle.
Encore une erreur, l'indice sur le produit n'est pas le même que la puissance z^k devant le produit...
Décidemment ...
Bonjour à tous.
Voici une solution demandant moins de connaissances que celle de otto.
On prend donc un polynôme P tel que P(U) est inclus dans U.
On peut l'écrire sous la forme , avec
et
non nuls. Supposons n non nul.
On sait que
Or, on peut écrire: avec, en particulier,
Or, la famille est une famille libre. Donc, en particulier
Il y a contradiction. Et donc