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Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:01

la limite éventuelle de la suite est 3 ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:09

exactement

croissante majorée

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:21

Merci ! mais je crois qu'il faut expliquer la conjecture  par des calculs car je pense que je n'ai pas le droit d'utiliser des logiciels.

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:27

louis222 @ 12-03-2023 à 14:37


1)Conjecturer le comportement de cette suite.


D'ailleurs, je suis bloqué sur cette question, je suppose qu'il faut calculer les premiers termes et observer s'ils sont croissant ou décroissant ?  

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:34

Ce n'est pas l'utilisation de logiciels

vous avez montré que la suite était croissante et qu'elle était majorée par 3, conséquence, elle converge.

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:46

S'il n'y avait pas de représentation graphique, comment le t-on trouverait ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:48

Question 2 et 3 b ce ne sont pas des représentations graphiques

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:53

Ah d'accord merci

donc 3b n>3999 c'est bon

Pour la deuxième partie

1) il faut calculer les premeirs termes et observer s'ilssont croiisant ou décroissant ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 15:59

oui

Citation :
Partie II
1)Conjecturer le comportement de cette suite.

c'est ce que l'on vient de faire
on suppose que la suite converge  et on va déterminer sa limite.

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 16:11

je suis un peu perdu,

Vo = (3*3-1)/(3+1)=8/4 = 2

donc on suppose que la suite converge ?

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 16:12

la partie 1 et la partie ont ils un lien ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 16:19

Quel est le texte exact  ? partie 1 il est question d'une suite  (u_n)
partie 2 d'une suite (v_n)

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 16:38

Soit f la fonction définie sur R+ par f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1 }

Partie II

Soit la suite (V_n) avec V_{n+1}=f(V_n) pour tout entier naturel n.

Soit V_0=3 et V{n+1}=f(Vn) pour tout entier naturel n.

1) Conjecturer le comportement de cette suite.
2) On admet que pour tout n,V_n>1 et on pose W_n= \dfrac{V_n+1}{Vn-1} pour tout n \geqslant  0.
a) Prouver que la suite (W_n) est arithmétique.
b) Exprimer W_n et V_n en fonction de n.
c) Vérifier que pour tout entier naturel n, \ Vn=1+\dfrac{a}{(n+1)}a est un réel à déterminer.
d) Étudier le sens de variation de la suite (Vn) ?


Est-ce cela  ?  Dans ce cas, il faudra revenir sur certaines réponses

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 16:57

Oui, c'est ça mais il y a aucune réponse pour la question 1. Vos avez dit que la suite converge mais je n'ai pas compris comment le avoir ? par des calculs ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 17:22

Donc dans la partie 1 il s'agit bien d'une suite (u_n)  celle-ci est croissante, qui est supposée admettre une limite égale à 3, et à partir de 3999  u_n est compris entre 2,999 et 3.

Partie 2  Aucun lien avec la question précédente sauf f
on a maintenant une nouvelle suite (v_n)   de premier terme 3.
Comme v_n+1= f(v_n)  on va donc calculer les premiers termes pour voir son comportement, ensuite, on pourra supposer qu'elle est croissante ou décroissante

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 17:35

Vo = 3
V1= 2
V2 = 1,66
V3= 1,14

On voit que la suite tend vers 0 ; Vo>V1>V2>V3. Don c elle est décroissante

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 17:50

On peut supposer qu'elle tend vers  0 et qu'elle est décroissante

On ne voit jamais quelque chose.

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:00

Merci !

Pour la question 2a j'ai vu la réponse mais je ne suis pas convaincue car pour montrer que la suite est géométrique il faut soustraire. Personnellement j'ai fait V1-V0 et v2-V3 mais leur résultat n'est pas identique. J'ai peut etre fait des erreurs dans les calculs.

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:06

On vous demande de montrer que la suite (W_n) est arithmétique. Si elle l'est, alors quelques exemples ne suffiront pas.

Vous avez -vu le début du calcul, essayez de le refaire.

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:13

Une illustration

On montrera plutôt qu'elle tend vers 1

Exercice sur les suite (Approfondissement)

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:16

Glapion @ 01-05-2015 à 11:36

Récapitulons :
W_{n+1}=\dfrac{V_{n+1}+1}{V_{n+1}-1}=\dfrac{\dfrac{3V_n-1}{V_n+1}+1}{\dfrac{3V_n-1}{V_n+1}-1}=\dfrac{4V_n}{2V_n-2}=\dfrac{2V_n}{Vn-1}=\dfrac{V_n+1}{V_n-1}+1 =W_n+1


Je l'ai compris mais on m'a toujours appris à soustraire les premiers termes pour montrer que telle suite est arithmétique...

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:18

hekla @ 12-03-2023 à 18:13

Une illustration

On montrera plutôt qu'elle tend vers 1

Exercice sur les suite (Approfondissement)


Car les derniers termes sont trop serrés ? donc on dit plutôt qu'elle tend vers 1

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:25

Je ne pense pas : la définition est la différence de deux termes consécutifs
quelconques est constante. On ne peut donc se contenter
des premiers termes. Seulement si la suite n'est pas arithmétique, car
alors la définition serait fausse. On pourrait trouver des termes dont la
différence entre eux n'est pas constante.

Si vous y tenez, vous pouvez toujours essayer de faire les calculs. Cette
façon est souvent employée lors de suites géométrico-arithmétiques

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:27

Pour l'instant, on ne dit rien, c'est juste pour « voir »  vers quoi tendrait la suite.

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:36

D'accord je comprends

Glapion @ 01-05-2015 à 11:36

Récapitulons :
W_{n+1}=\dfrac{V_{n+1}+1}{V_{n+1}-1}=\dfrac{\dfrac{3V_n-1}{V_n+1}+1}{\dfrac{3V_n-1}{V_n+1}-1}=\dfrac{4V_n}{2V_n-2}=\dfrac{2V_n}{Vn-1}=\dfrac{V_n+1}{V_n-1}+1 =W_n+1


Je ne comprends pas le passage de (2vn)/(Vn-1) à (Vn+1)/(Vn-1)+1 ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 18:51

Désolé, j'ai eu tort de parler de cela, car en relisant l'énoncé, il n'est pas question de la limite de la suite.

1+1=2 et 1-1=0

2v_n=v_n+v_n+1-1= (v_n-1)+(v_n+1)

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 19:12

Merci !  

POur la question b j'ai lu les rponses mais elles sont confuses

Wn = Wo + n après j ne comprends pas ...
Merci

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 19:25

Vous avez montré que w_{n+1}=w_n+1

Vous en déduisez que la suite est une suite arithmétique de raison 1  et de premier terme w_0 (à calculer).

Le terme général d'une suite arithmétique   est  w_n=w_0+nr  donc on applique.

Cela pour w_n  Pour v_n , vous savez que w_n=\dfrac{v_n+1}{v_n-1}

Vous pouvez donc écrire v_n en fonction de w_n   et puisque vous avez écrit précédemment w_n en fonction de n, vous pouvez écrire, alors v_n en fonction de n.

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 19:57

Merci ! j'ai réussi à trouver.

Mais je suis bloqué depuis un moment sur la question c, la réponse n'est pas claire ? Pouvez vous l'éclairer. Merci

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 20:00

j'ai une question bonus qui n'est pas marqué dans ce sujet : Produire des éléments permettant d'étayer la conjecture du 1 ( la suite tend vers 1 et elle est décroissante). Il faut que je trouve des éléments trouvés qui valident la conjecture ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 20:31

v_n=1+\dfrac{a}{n+1}=\dfrac{n+3}{n+1}

résultat de la question précédente

3=2+1 on a donc  v_n=\dfrac{n+1+2}{n+1}= \dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{2}{n+1} d'où a=

  décroissante  : x\mapsto \dfrac{1}{x}  décroissante sur \R^+_*

+1 ne change rien au sens de variation.

Si n tend vers l'infini, son inverse tend vers 0 et si l'on ajoute cela à 1 on aura bien comme limite 1

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 20:56

C'est bon j'ai réussi à trouver.

Merci beaucoup pour votre aide etp votre patience

Bonne soirée

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 21:10

De rien
Bonne soirée
À une prochaine fois

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