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Niveau première
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Exercice sur les suite (Approfondissement)

Posté par
Emili96
14-04-13 à 16:34

BONJOUR,je suis nouvelle ici.Je recherche de l'aide auprès de vous car un blocage pour cette exercice :
Soit f la fonction définie sur R+ par f(x)=3x-1/x+1
Partie I
On me demande donc: 1)Etudier le sens de variation de f (on derive la fonction) puis celui de (Un)(je n'y arrive pas).
2)Conjecturer une limite éventuelle de (Un).
3)a) Demontrer que pour n supérieur ou = à 0,Un=3-4/n+1.
b)A partir de quel entier n a-t-on 2,999<Un<3 ?
Partie II
1)Conjecturer le comportement de cette suite.
2)On admet que pour tout n,vn >1 et on pose Wn= Vn+1/Vn-1 pour tout N superieur ou = à 0.
a) Prouver que la suite (Wn) est arithmétique.
Je vais m'arrêter à la car l'exercice est assez long.
Je vous remercie de bien vouloir m'aider.

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 16:55

J'ai compris la premier question .

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 16:57

Bonjour, les parenthèses c'est important f(x)=(3x-1)/(x+1) ?
tu n'as pas défini Un, est-ce que Un=f(n) ?

La fonction f(x) se dérive comme un u/v donc en appliquant la formule (u'v-v'u)/v²

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:00

Ah oui désolé, ça ne se reproduira plus .Merci c'est ce que j'ai fait mais je n'arrive pas à repondre à la question 2 après cela .

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:01

Oui Un=f(n)

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:03

Ainsi pour étudier le sens de variation de Un on fait la différence entre Un+1 -Un ,sachant que l'on sait que Un=f(n).
C'est bon ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:04

La limite de la suite est la même que la limite de la fonction quand x tend vers l'infini. Elle est simple à trouver. met par exemple x en facteur au numérateur et dénominateur.
tu as trouvé quoi comme sens de variation de la fonction ?
Exercice sur les suite (Approfondissement)

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:09

Moi j'ai trouvé que la fonction f(x) est croissante cependant comment peut-on établir le sens de variation de Un d'après moi c'est en faisant la différence mais c'est assez compliqués.

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:15

Pour cette exercice avons nous besoin d'un logiciel quelconque.

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:19

Merci pour votre aide .

Posté par
Emili96
Suite (approfondissement) 14-04-13 à 17:27

Bonjour!
Je recherche de l'aide auprès de vous car un blocage pour cette exercice :
Soit f la fonction définie sur R+ par f(x)=(3x-1)/(x+1)
Partie I
On me demande donc: 1)Etudier le sens de variation de f (on derive la fonction) puis celui de (Un)(je n'y arrive pas).
2)Conjecturer une limite éventuelle de (Un).
3)a) Demontrer que pour n 0,Un=(3-4)/(n+1).
b)A partir de quel entier n a-t-on 2,999<Un<3 ?
Partie II
1)Conjecturer le comportement de cette suite.
2)On admet que pour tout n,vn >1 et on N 0 Wn= Vn+1/Vn-1 pour tout n 0.
a) Prouver que la suite (Wn) est arithmétique.
Je vais m'arrêter à la car l'exercice est assez long.
Je vous remercie de bien vouloir m'aider.

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:31

On t'a fait dériver la fonction justement pour ne pas avoir à calculer le signe de Un+1-Un (la suite et la fonction ont les mêmes variations).
Si tu as montré que la fonction était croissante, tu peux donc en conclure que la suite l'est aussi.
Idem pour la limite.

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:33

Certainement ,mais mon professeur me recommande de le faire .

Posté par
loopa
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 17:37

ca va être un peu difficile de te répondre si tu ne donnes absolument aucune info sur Un au début...

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:40

On ne t'aurait pas demandé d'étudier les variations de la fonction si ça ne servait à rien.
Cela dit, ça n'est pas insurmontable de calculer Un+1-Un=(3(n+1)-1)/(n+2)-(3n-1)/(n+1)=4/(n+1)(n+2) et de constater que c'est bien toujours positif.

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:41

La suite (Un) est definie par Un=(3n-1)/(n+1).

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:41

Dois-je l'exprimer de cette manière ou bien c'est faux ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:43

Ben oui Un=f(n) c'est donc bien Un=(3n-1)/(n+1).
Lit mon post précédent, tu as le résultat du calcul de Un+1-Un.

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 17:47

Merci,donc je pense avoir fait une erreur de calcul.Cela dit pouvait vous m'expliquer comment peut-on conjecturer une limite d'une suite; notre prof nous a donné le cour il y a 2 jours j'ai donc un peu de mal avec les suites.

Posté par
Emili96
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 17:54

Excusez moi pour le retard de mon message.Pour la question 1) j'ai derivé la fonction .

*** message déplacé ***

Posté par
Emili96
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 17:57

On a donc (3*x+1 - 1 *3x-1)/(x+1)^2 ,J'ai donc constater que la fonction est croissante . Dans mon énoncer me dit que Un=f(n) donc la suite est de même croissante .

*** message déplacé ***

Posté par
Emili96
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 17:59

Etant donner que je ne maîtrise pas parfaitement les suites j'ai du mal pour les questions suivante ,je demande donc s'il vous plait pour je que je puisse effectuer cette exercice en toute facilité .

*** message déplacé ***

Posté par
Emili96
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 18:04

Quelqu'un pourrait m'aider . Merci

*** message déplacé ***

Posté par
Emili96
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 18:11

Un peu d'aide s'il vous plait . ^^

Posté par
Emili96
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 18:25

Je souhaite jusqu'on m'explique , je ferai l'exercice seule , mais s'il vous plait aider moi !

*** message déplacé ***

Posté par
Emili96
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 18:26

j'ai fait 2 topic identique cependant j'ai amélioré les symboles.

*** message déplacé ***

Posté par
FDP
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 18:31

Si cette suite a une limite l comment empiriquement la trouver?

Qu'est-ce que cela veut dire que la suite tend vers l ?(je ne te demande pas la définition du cours)

*** message déplacé ***

Posté par
FDP
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 18:34

Ma question précédente n'est pas tout à fait adéquate.

Il faudrait étudier la limite en +OO de f(x).
On ne te demande aucune démonstration dans cette question, des essais numériques permettent de se faire une idée.

*** message déplacé ***

Posté par
FDP
re : Suite (approfondissement) 14-04-13 à 18:40

Un=(3-4)/(n+1).

Il doit y avoir une erreur. Un>0

*** message déplacé ***

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 14-04-13 à 19:20

donc tu as compris les questions 1) et 2) ?

la 3) tu dois montrer que Un=3-4/(n+1), il suffit d'écrire Un=(3n-1)/(n+1) = [3(n+1)-4]/(n+1)=3-4/(n+1) et tu y es.

Résoudre 2,999n est simple. 3-4/(n+1) > 2,999 4/(n+1)<0,001 n+1>4/0,001 n > 4000-1 n > 3999

Posté par
Lylli
exercice sur les suites (approfondissement) 04-05-14 à 15:35

Bonjour, j'ai moi aussi cet exercice à faire et j'aimerai de l'aide pour la partie 2 svp.

Posté par
zechrome22
partie B de l'exercice sur les suites 30-04-15 à 22:42

Bonjour,

J'aimerai avoir de l'aide concernant la partie 2 de ce dm.
J'ai du mal à comprendre l'énoncé de cette partie et je ne sais pas (mais je ne suis pas sûr) s'il faut s'aider de la premier partie de l'exercice pour la partie . Et je bloque sur les questions 2.a  2.b  2.c  2.d

voici la partie 2:

1)Conjecturer le comportement de cette suite.
2)On admet que pour tout n,vn >1 et on pose Wn= Vn+1/Vn-1 pour tout N superieur ou = à 0.
a) Prouver que la suite (Wn) est arithmétique.
b) Exprimer Wn et Vn en fonction de n.
c) Vérifier que pour tout entier naturel n, Vn=1+(a)/(n+1) ou a est un réel à déterminer.
d) Etudier le sens de variation de la suite (Vn) ?

J'ai encore un peu de temps, sachant que je suis en vacances. Mais j'aimerais le finir assez tôt car je dois pleins d'autres devoirs, sans compter les révisions pour le BAC de français.

Besoin d'aide svp.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 30-04-15 à 23:14

Pour montrer que la suite est arithmétique et il faut montrer que Wn+1= Wn + k donc calcule Wn+1 en fonction de Vn+1 puis de Vn puis de Wn

Posté par
zechrome22
partie B de l'exercice sur les suites 01-05-15 à 00:34

Bonsoir,

J'avais oublié d'écrire l'énoncé de la partie 2:

Soit la suite (Vn) avec Vn+1=f(Vn) pour tout entier naturel n.
Soit V0=3 et Vn+1=f(Vn) pour tout entier naturel n.

J'ai calculé Wn+1 et j'ai obtenue (au bout d'une longue série de calcule) Wn+1=(4Vn²+4Vn)/2Vn²-2)
Mais ce résultat me parait faux.
Après ça, je ne sais pas s'il faut faire Un+1 - Un.
Je comprend votre idée mais je ne vois pas comment remplacer Vn+1 puis Vn puis Wn.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 01-05-15 à 11:36

Récapitulons :
W_{n+1}=\dfrac{V_{n+1}+1}{V_{n+1}-1}=\dfrac{\dfrac{3V_n-1}{V_n+1}+1}{\dfrac{3V_n-1}{V_n+1}-1}=\dfrac{4V_n}{2V_n-2}=\dfrac{2V_n}{Vn-1}=\dfrac{V_n+1}{V_n-1}+1 =W_n+1

Posté par
zechrome22
partie B de l'exercice sur les suites 01-05-15 à 15:10

Merci

je viens de refaire le calculen plus détaillé.
Puis pour exprimer Wn et Vn en fonction de n, j'ai utilisé les formules du cours Un=U0+n*r
J'ai donc obtenue:

Vn=3+n*1=3+n
Wn=(3+n)+1)/(3+n)-1)

et je bloque sur la c

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 01-05-15 à 15:17

heu non c'est le contraire, c'est Wn qui est arithmétique et donc Wn = W0+n = n + 2
et pour avoir Vn, trouve Vn en fonction de Wn en utilisant l'expression W_{n}=\dfrac{V_{n}+1}{V_{n}-1}

Posté par
zechrome22
partie B de l'exercice sur les suites 01-05-15 à 16:39

Merci

ensuite j'ai fait
Vn+1=Wn*(Vn-1)
Vn+1=(2+n)*(Vn-1)
Vn+1=2Vn-2+2*Vn-n
Donc Vn=2Vn-3+n*Vn-n

Mais tout ceci me parait faux...

Je n'arrive pas à mettre Vn dans un seul coté.

Si je divise les 2 cotés par Vn j'aurai :

(Vn)/(Vn)=(2Vn-3+n*Vn-n)/(Vn)

ensuite je bloque.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 01-05-15 à 17:01

laborieux

Wn = (Vn+1)/(Vn-1) produit en croix Wn(Vn-1) = Vn+1
tous les Vn à gauche, tout le reste à droite
Vn (Wn-1) = 1+Wn Vn = (Wn +1)/(Wn-1)

maintenant si Wn = n+2, ça donne Vn = (n+3)/(n+1)
et pour anticiper la question d'après, Vn = (n+1+2)/(n+1) = 1+2/(n+1)

Posté par
zechrome22
partie B de l'exercice sur les suites 01-05-15 à 17:50

Merci !

Pour la dernière question, sur le sens de variation de la suie (Vn), J'ai fait:

Vn+1= (n+1)+3)/(n+1)+1) = (n+4)/(n+2)

ensuite j'ai fait Vn+1 moins Vn, et j'ai obtenue  -2/(n²+3n+2)

et donc la suite (Vn) est décroissante ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 01-05-15 à 18:45

oui mais ça se voit directement sur Vn = 1+2/(n+1) la fonction inverse est décroissante donc 2/(n+1) est décroissant et 1 + 2/(n+1) aussi. Ca tend vers 1 d'ailleurs.

Posté par
zechrome22
partie B de l'exercice sur les suites 01-05-15 à 19:04

Merci beaucoup de votre aide et de votre patience.

je vais pouvoir mettre mon jolie brouillon au propre.

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 12:17

Bonjour,

j'ai exactement le même exercice et j'ai du mal.

1)Etudier le sens de variation de f (on derive la fonction) puis celui de (Un)(je n'y arrive pas).
2)Conjecturer une limite éventuelle de (Un).
3)a) Demontrer que pour n 0,Un=(3-4)/(n+1).
b)A partir de quel entier n a-t-on 2,999<Un<3 ?

pour le 1) j'ai drivé et j'ai trouvé (4)/((x+1)^2) mais étudier e sens de variation il faut calculer le dénominateur pour obtenir lpolynôme puis le calculer pour trouver les deux racines et finalement en déduire le sens ?

pour le 2) je n comprends pas

Merci beaucoup

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 13:36

Bonjour

Qu'avez-vous effectué ? Des réponses ont été données, les avez-vous lues ?

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 13:56

Bonjour,
la partie 1

Je les ai tout lu mais je ne les comprends pas tout c'est pourquoi j'ai envoyé ce message

1) J'ai dérivé la fonction et j'ai trouvé (4)/(x+1)^2. Mais je suis bloqué pour l'étude de sens de variation, je sais que la fonction est croissante (j'ai vu la réponse) mas comment savoir ?  (J'ai calculé (x+1)^2 pour obtenir  un polynôme puis j'ai fait le tableau de signe. Comme 1 = a >0 donc la fonction est croissante. On en déduit que (Un) est croissante. )

2) d'après le sens de variation de la suite qui est croissante, la limite tend vers +infini.

3) c'est bon j'ai calculé 3-(4)/(n+1) et j'ai trouvé (3n-1)/(n+1), ce qui correspond à la fonction (f(n)= f(x))

4) c'est bon( n>3999)

Je viens de commencer la deuxième partie. Je poserai des questions si je suis bloqué

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 14:12

Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est strictement croissante sur  I.
C'est ce que l'on applique  

 f'(x)= \dfrac{4}{(x+1)^2} est manifestement strictement positive donc la fonction strictement croissante

(u_n) croissante par conséquent

2) toute suite croissante ne tend pas vers l'infini.

N'avez-vous jamais vu d'hyperbole ? et n'est-ce pas en contradiction avec la question 3 b)

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 14:37

2) c'est le contraire ? Je ne comprends pas la question

Pour la deuxième partie, je suis déjà bloqué sur la question 1

1)Conjecturer le comportement de cette suite.
2)On admet que pour tout n,vn >1 et on N 0 Wn= Vn+1/Vn-1 pour tout n 0.
a) Prouver que la suite (Wn) est arithmétique.
b) Exprimer Wn puis Vnen fonction de n
c) Vérifer que pour tout n > 0, Vn =1 +(a)/(n+1) où a est un réel à déterminr
d) Etudier le sens de variation de la suite (Vn)
e) Produire des éléments permettant d'étayer la conjecture du1

Posté par
louis222
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 14:41

hekla @ 12-03-2023 à 14:12

Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est strictement croissante sur  I.

Excusez-moi, que veut dire I ?

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 14:51

I est un intervalle. La croissance ou décroissance ne sont définies que sur un intervalle. On ne peut pas dire que x\mapsto \dfrac{1}{x}, il faut évidemment préciser l'intervalle sur lequel, c'est vrai.


Question 2 voir 14 04  13 17 h 04

Posté par
hekla
re : Exercice sur les suite (Approfondissement) 12-03-23 à 14:52

* est décroissante  

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