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exercice sur les suites...

Posté par Maélia (invité) 23-02-07 à 08:39


          Bonjour à tous,

J'éprouve quelques difficultés à réaliser cet exercice, comme je voudrais sauver les meubles au maximum en maths, je souhaiterais avoir des explications sur cet exercice pour pouvoir le refaire à nouveau :

La suite (Un) est définie sur l'ensemble N par:

Uo = 4    et U indice n+1 = 1/2 (Un + 9 / Un)

a) Montrer que la suite (Un) est minorée par 3.
b) Etudier le sens de variation de (Un).
c) Montrer par récurrence que Un-3 inférieur à 1 / 2^n

En déduire la valeur de la limite de (Un)

Si vous pouviez m'indiquer il faut que je m' prenne ; utilisation du Théorème des Gendarmes au c) ...
Merci par avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice sur les suites... 23-02-07 à 09:02

Bonjour,

Premier résultat : par une récurrence immédiate, on montrer que (Un) est une suite strictement positive.

(.../...)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice sur les suites... 23-02-07 à 09:04

a) Première méthode

U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_n+\frac{9}{U_n}\right)
U_{n+1}=\frac{1}{2}\frac{U_n^2+9}{U_n}
U_{n+1}=\frac{1}{2}\frac{U_n^2-6U_n+9+6U_n}{U_n}
U_{n+1}=\frac{1}{2}\frac{(U_n-3)^2}{U_n}+3
U_{n+1}\ge 3

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice sur les suites... 23-02-07 à 09:08

a) Deuxième méthode

Peut-être une récurrence...

Posté par
veledaexercice sur les suites 23-02-07 à 09:09

bonjour,
a) tu formes un-3  et tu va trouver que c'est0
b) tu formes un+1-un =1/2[un+9/un-un-1-9/un-1]=
1/2(un-un-1)(1-9/(unun-1)) et tu utilises le a)pour  trouver le signe du dernier facteur   sauf erreur de calcul

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice sur les suites... 23-02-07 à 09:11

b)
U_{n+1}-U_n = \frac{1}{2}\left(U_n+\frac{9}{U_n}\right)-U_n
U_{n+1}-U_n = \frac{1}{2}\left(\frac{9}{U_n}-U_n\right)
U_{n+1}-U_n = \frac{1}{2}\frac{9-U_n^2}{U_n}
U_{n+1}-U_n = \frac{1}{2}\frac{(3+U_n)(3-U_n)}{U_n}
U_{n+1}-U_n \le 0
Donc...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice sur les suites... 23-02-07 à 09:24

c)
On reprend le calcul de a) :
U_{n+1}-3=\frac{1}{2}\frac{(U_n-3)^2}{U_n}
U_{n+1}-3=\frac{1}{2}(U_n-3)\frac{U_n-3}{U_n}
U_{n+1}-3=\frac{1}{2}(U_n-3)\left(1-\frac{3}{U_n}\right)
Or 1-\frac{3}{U_n} est à la fois strictement positif et inférieur ou égal à 1 (à justifier), donc :
\fbox{U_{n+1}-3\le\frac{1}{2}(U_n-3)}

Ceci permet de montrer, par une récurrence facile, que :
U_{n}-3\le\left(\frac{1}{2}\right)^n(U_0-3)
\fbox{U_n-3\le\frac{1}{2^n}}

Or la suite est minorée par 3. Donc :
0\le U_n-3\le\frac{1}{2^n}
On appelle les gendarmes ?

Posté par Maélia (invité)exercice sur les suites... 23-02-07 à 12:27

  Je vous remercie vraiment pour vos réponses à mon problème.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice sur les suites... 23-02-07 à 12:28

Je t'en prie.


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