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Exercice sur les suites
Bonsoir, j'ai un exercice en maths à faire. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Voilà l'énoncé:
Dans un pays de population constante égale à 60 millions d'habitants, on comptait 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux en 2010. Les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville et on constate que les mouvements de population suivent la règle suivante: chaque année, 20 % des ruraux émigrent en ville et 10 % des citadins s'installent en zone rurale. L'objectif est d'étudier l'évolution des deux populations au bout d'un grand nombre d'années.
1)Calculer le nombre d'habitants dans chacune des zones en 2011, puis en 2012.
2)On note Un la population en zone rurale (en millions d'habitants) et Vn la population en ville (en millions d'habitants) en l'année 2010 + n. Exprimer Un+1 et Vn+1 en fonction de Un et Vn.
3)a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Un+Vn=60.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a Un+1=0,7Un+6.
4)On pose An=Un-20. Démontrer que (An) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
5)En déduire les expressions de An, Un puis Vn en fonction de n.
Le nombre de ruraux en 2011 sont ceux qui restent moins ceux qui partent: 0.8 x u0 plus ceux qui arrivent 0.1 x v0
u_1= 0.8 u0+0.1 v0 donc u1=0,8 x 40 +0.1 x 20=34
Les citadins en 2011 sont ceux qui restent moins ceux qui partent 0.9 x v0 plus ceux qui arrivent 0.2 x u0
v1=0.9 x 20 + 0.2 x 40=18+8=26
Mais je ne sais pas comment faire pour 2012.
En effet chaque année, 20 % des ruraux émigrent en ville (il y en a donc 80% qui restent coefficient multiplicateur 0,8) et 10 % des citadins s'installent en zone rurale
donc u1 = 0.8u0 + 0.1v0
donc
u1 = 0,8 * 40 + 0.1 * 20 = 34 (unité ? )
Par contre """Les citadins en 2012 sont ceux qui restent moins ceux qui partent 0.9 x v0 plus ceux qui arrivent 0.2 x u0
v1=0.9 x 20 + 0.2 x 40=18+8=26"""" est un raisonnement faux. Il faut rependre le même que pour 2011
Les évolutions se font par rapport à chaque année
En 2011, 20 % des ruraux présent en 2010 ont émigré en ville et 10 % des citadins s'installent en zone rurale
En 2012, 20 % des ruraux présent en 2011 ont émigré en ville et 10 % des citadins s'installent en zone rurale
.
Sinon je peux également répondre à la première question de cette façon:
20% de 40 millions = 8 millions de personnes et 10% de 20 millions = 2 millions
Puis on soustrait 8 millions à 40 millions pour les ajoutez à 20 millions et on soustrait 2 millions à 20 pour les mettre à 40 ce qui nous a donné 34 millions de ruraux et 26 de citadins pour 2011 et on a fait pareil pour 2012 ce qui donne 29,8 millions pour les ruraux et 30,2 millions pour les citadins.
Pouvez-vous me dire si la question 2 est juste s'il vous plaît ?
Vn+1 = 0.9Vn + 0.2Un
Un+1 = 0.8Un + 0.1Vn
Enfin, en notant correctement : indices, ou parenthèses :
Vn+1 = 0.9Vn + 0.2Un
Un+1 = 0.8Un + 0.1Vn
ou
V(n+1) = 0.9V(n) + 0.2U(n)
U(n+1) = 0.8U(n) + 0.1V(n)
Et pour la question 3, j'ai fait:
a- Pour tout entier naturel n: Vn+1 + Un+1 = 0.9Vn + 0.2 Un + 0.1Vn + 0.8Un
= Vn + Un
= 60
b- Un + Vn = 60, donc Un = 60 - Vn
Donc Un+1 = [0.1 Vn + 0.8 Un]\equiv[/Un+1 = 0.1 (60-Un) + 0.8Un]
Un + 1 = 0.7 Un + 6
Excusez-moi je recommence avec les parenthèses:
3a- Pour tout n: V(n+1) + U(n+1) = 0.9V(n) + 0.2 U(n) + 0.1V(n) + 0.8U(n)
= V(n) + U(n)
= 60
b- U(n) + V(n) = 60, donc U(n) = 60 - V(n)
Donc U(n+1) = 0.1 V(n) + 0.8 U(n)
U(n+1) = 0.1 (60-Un) + 0.8U(n)
U(n + 1) = 0.7 U(n) + 6
Pouvez-vous me dire si c'est bon s'il vous plaît ?
Pour la question 4, j'ai fait:
Pour tout n: a(n)=u(n) - 20 ce qui correspond à a(n+1) = u(n+1) - 20
= 0.7 u(n)
Donc a(n) est une suite géométrique de raison 0.7 mais je n'arrive pas à trouver le premier terme a(0).
a(n)= u(n) - 20 ce qui correspond à a(n+1) = u(n+1) - 20
= 0.7u(n) + 6 - 20
= 0.7(u(n)+20) -14
= 0.7u(n) + 14 - 14
= 0.7u(n)
C'est vrai, donc:
a(n+1) = u(n+1) - 20
= 0.7u(n) +6 -20
= 0.7u(n) -14
Donc a(n) est une suite géométrique de raison 0.7 et de premier terme u(0)= -14 ?
Je crois avoir trouvé mon erreur: a(n+1) = u(n+1) - 20
= 0.7(a(n)+20) -14 non
= 0.7a(n) + 14 - 14
= 0.7a(n)
Faut juste lire l'énoncé.
On note Un la population en zone rurale (en millions d'habitants) (...) en l'année 2010 + n
on comptait 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux en 2010.
D'accord, pour la question 5, j'ai fait:
a(n)=20 x pour tout n
u(n)=20 x 0.7(n+1) car u(n) représente la population en zone rurale en l'année 2010 + n.
v(n)=60 - u(n) pour tout n.
Pouvez-vous me dire si c'est bon s'il vous plaît ?
u(n) = 60 - v(n)
Donc v(n) = 60 - u(n)
v(n) = 60 - (20 x 0.7(n+1))
Pouvez-vous me dire si c'est bon s'il vous plaît ?
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