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Exercice sur les suites
Bonjour à tous, j'aimerais avoir votre aide pour un exercice sur les suites.
Voici l'énoncé ainsi que les questions/ réponses que j'ai fais :
Le gazon d'un champ de 5000m² est envahi par des pisselits qui détruisent 20% de la surface en un an. Chaque automne, Catherine arrache 250m² de pissenlits afin de semer de la pelouse.
On pose P0 = 5000 la surface initiale en m² de pelouse et Pn la surface à la fin de n années ou n 
.
1) Calculer la surface de pelouse au bout d'une et deux années.
Pour la 1ère année j'ai mis : 5000
0.8 + 250 = 4250
Pour la 2ère année j'ai mis : 42500.8 + 250 = 3650
2) Exprimer, pour tout n , Pn+1 en fonction de Pn.
J'ai mis : Pn+1 = Pn0.8+250 avec P0 = 5000
3) On définit, pour tout entier naturel n, la suite (Vn) par Vn=Pn -1250.
a) Déterminer la nature de la suite Vn , sa raison, et son premier terme.
J'ai mis : Vn est une suite arithmétique de raison -1250. V1 = P1-1250 = 4250-1250 = 3000
b) Donner l'expression du terme générale Vn en fonction de n .
Je ne suis pas sur mais, on sait que Vn=Pn -1250 donc il faut que je transforme l'écriture Pn en écriture explicite et j'aurais la réponse à la question.
c) En déduire une expression de Pn
Pour cette question, je m'aiderais de la question précédente.
4) Quel est le sens de variation de la suite Pn ?
5) Quelle sera l'aide du gazon sans pissenlits au bout de 10 ans ?
6) Dans combien d'années la surface de gazon sera-t-elle inférieur à 1000 m² ? Justifier.
Voilà, j'aimerais savoir si le début est bon pour commencer, ensuite si vous pouvez m'aider à partir de la question 3b. Merci beaucoup et passez de bonnes fêtes. 
hekla
Je ne comprends pas pourquoi vous écrivez c'est Vn = Pn-1250, vous avez écrit Vn+1 etc...
Je dois définir la nature de cette suite, je ne vois pas elle est comment....
Si vous dites que la suite est arithmétique de raison
cela veut donc dire que la différence entre deux termes consécutifs de cette suite est constante donc
ou
or ce n'est pas ce que l'on a mais
remplacez en fonction de
Montrez alors que
hekla
Pourquoi on passe de Vn = Pn -1250 à Vn+1 = Pn+1 -1250 ?
Quand je dois remplacer Pn+1 en fonction de Pn ça veut dire que je dois trouver la forme explicite de Pn+1 ?
La définition de la suite est valable pour tout le seul renseignement que l'on ait, concerne
donc il faut bien l'utiliser
Vous avez montré que
simplifiez et mettez 0,8 en facteur Que trouvez-vous alors ?
hekla
Ah oui d'accord j'ai compris donc :
Vn+1 -1000 = 0.8Pn
Donc c'est une suite géométrique de raison 0.8, c'est bien ça ? Je peux continuer la suite sans jeu de mots bien sûr ?
Non pas mais
faites attention
Oui la suite est géométrique de raison 0,8 et de premier terme
à calculer
hekla
Comment voulez-vous que je calcules v0 car
Vn+1 = 0.8Pn - 1000
Je peux calculer V1 = 0.8 5000 -1000 = 3000 donc V1 = 3000 mais pour V0 ? Le premier terme c'est forcément V0 ?
La suite est définie pour tout
par
il suffit donc de faire pour obtenir
Remarque si vous avez un terme et la raison de la suite géométrique vous avez tous les termes
On fait le détour par une suite intermédiaire souvent géométrique pour pouvoir calculer
directement sinon on est obligé de calculer tous les termes de la suite
pour avoir par exemple
en fonction de
comment l'écrivez-vous ?
hekla
Excusez-moi mais je ne comprends pas ceci :
Non pas
parceque quand je développes ça fait 0.8Pn -1250
On a la suite Vn+1 = 0.8Pn -1000 on a le -1000 donc c'est pas une suite géométrique ?
Pour écrire Pn en fonction de n il faut que je l'écrive de la forme Un = U0
qn c'est bien ça ?Quand vous développez quoi ?
On a montré que ceci montre bien que la suite
est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme
Avant d'écrire en fonction de
uniquement il va falloir écrire
en utilisant ce que vous avez écrit
maintenant on peut écrire
hekla
Quand vous développez quoi ?
On a montré que
Je comprends pas on a démontré que Vn+1 = 0.8Pn-1000 non ?
Certes mais c'est une étape pour montrer que la suite est géométrique
on part de
on remplace par sa valeur en fonction de
on simplifie on obtient
Ce n'est pas fini car de ceci on ne peut déduire la nature de la suite
maintenant on va mettre 0,8 en facteur on obtient alors
On peut alors remarquer (on a tout fait pour) que est égal à
on a donc
On vient donc de prouver que la suite est une suite géométrique puisque chaque
terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre. Le premier terme est
donc
est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 3750.
On peut donc alors écrire
Sachant que on peut maintenant écrire
en fonction de
uniquement
hekla
D'accord, pour exprimer Pn en fonction de n : On sait que Vn = Pn-1250 alors Pn = Vn +1250 on en déduis que Pn = 37500.8n+1250.
J'ai oublié de préciser la question n°4 je ne dois pas la faire, surement car on a pas encore vu.
5) 37500.810+1250 = 1652.65 environ
Au bout de 10 la surface de gazon sans sera de 1652m² environ.
6) Pour cette question je dois résoudre 37500.8n+1250 <1000 donc 37500.8n+250< 0 pour résoudre ceci je ne vois que 2 solutions le faire avec la calculatrice ou par lecture graphique ? J'ai essayé de construire un graphe sur géogebra de cette fonction mais on la voit pas.
Avec la calculatrice ça stagne à 1250.0m² à partir de la 48 èmes années. Donc la surface ne sera jamais inférieur à 1000m² ?
hekla
Excusez-moi j'ai mal tapé sur ma calculatrice, à partir de la 7ème années, la surface sera inférieure à 1000m².
1653 pour les arrondis au mètre carré
Cela n'atteint jamais 1250 la limite d'une suite géométrique de raison positive inférieure à 1 est 0 donc on a toujours une valeur supérieure stricte à 1250
En revanche vous pouvez résoudre l'inéquation
Que pouvez vous dire du premier membre ? du second Est-ce possible ?
L'inéquation revient bien à mais c'est aussi
est un nombre positif, quelle que soit la valeur de
Par conséquent il est toujours supérieur à un nombre négatif ce qui veut dire que l'inéquation n'a pas de solution.
Plus court encore la somme de 2 réels positifs est positive, elle ne peut être négative par conséquent pas de solution
hekla
Si c'est pas possible mais pourquoi je trouves une solution ?
Je réponds comment à cette question ?
Vous ne pouvez pas trouver une solution
On veut c'est-à-dire
ou
La somme de 2 réels positifs est positive, elle ne peut être négative par conséquent pas de solution.
L'aire de sa pelouse sera toujours supérieure à 1000 m
Qu'avez-vous fait pour trouver une solution ?
hekla
Non, non c'est pas bon ce que j'ai trouvé. Donc il n'y a pas de solutions, la surface sera toujours > à 1000m².
Un dernière question quand on dit calculer le premier terme c'est forcément V0 ? Merci
Elle sera même toujours supérieure à 1250 m
Pas nécessairement Cela dépend de l'ensemble de définition
si la suite n'est définie que sur alors on commence à 1
Je vous l'a plus ou moins dit
Lorsque n tend vers l'infini tend vers 0
On aura donc toujours 1250 plus un petit quelque chose positif que l'on ajoute à 1250
hekla
D'accord, je penses qu'on a finit...
Merci beaucoup de votre aide, passez une bonne soirée et de bonnes fêtes de fin d'année
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