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Exercice sur les suites

Posté par
Louane112
30-01-21 à 12:50

Bonjour à tous,
Je bloque sur un exercice sur les suites.

Voici l'énoncé : « On étudie l'action d'un antibiotique sur une souche de bactéries. Chaque heure, 5% des bactéries sont tuées.
Quelle est la durée nécessaire pour que la moitié des bactéries initialement présentes soient tuées par cet antibiotique ? »

Ce que je dois faire : Modéliser la situation par une suite en précisant sa nature (arithmétique, géométrique, ni l'une ni l'autre) puis résoudre le problème posé.

Ce que j'ai fait :
Premièrement j'ai modélisé la situation par la suite géométrique suivante : un = u0 * q^n, avec q = 5/100 (mais je ne suis déjà pas sûre de ma réponse).
Puis, pour ce qui est de la problématique posée je ne sais pas par où commencer.

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 30-01-21 à 12:59

bonjour

effectivement il s'agit d'une suite géométrique mais sa raison n'est pas celle que tu dis.

prends un exemple pour comprendre :
u0 = 100
u1 = ...?  

ensuite, on veut connaitre pour quelle valeur de n, on aura la moitié de la quantité initiale.
par quelle équation on va traduire ceci ?

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 30-01-21 à 13:47

Oui j'ai essayé de prendre cet exemple et je me suis rendue compte que ça ne marchait pas trop (c'est pour ça que je doutais de l'expression que j'avais donné).
J'imagine qu'on veut le nombre de bactéries restantes et non le nombre de bactéries éliminées.
Donc selon moi, q = 95/100 et non 5/100.
Après, j'ai aussi pensé à l'équation que l'on pouvait résoudre pour la deuxième partie du problème. On veut la durée nécessaire, donc le nombre d'heures nécessaires (donc le rang n) qui correspond à la moitié des bactéries initialement présentes (donc lorsque un = u0 * q^n = u0/2).
Ainsi je pense qu'on va résoudre l'équation suivante :
u0 * q^n = u0/2 ?

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 30-01-21 à 13:51

c'est exact
ce qui revient à résoudre, après simplification par u0 - que l'on suppose non nul,
0.95n = 1/2

soit tu as appris en cours comment résoudre de type d'équation,
soit à l'aide de la calculette, ou d'un tableur...

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 30-01-21 à 16:04

Ma prof nous a dit que le logarithme était un outil qui nous permettait de trouver n à ce moment là mais qu'on le verrait en Terminale. Donc on doit chercher en tâtonnant sur la calculatrice. Est-ce que ce qu'on a bien n = 14 (entier naturel à partir duquel on arrive en dessous de la moitié) ?

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 30-01-21 à 16:48

oui,  on trouve n 13.51

donc n=14 si on compte en heures entières

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 30-01-21 à 18:12

Ok parfait, merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 30-01-21 à 18:13

avec plaisir
bonne continuation !

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 11:49

Bonjour,
J'ai encore deux questions sur le même exercice mais avec deux autres situations avec les mêmes consignes : exprimer la situation par une suite en précisant sa nature (arithmétique, géométrique ou aucune des deux) puis répondre à la problématique.

Deuxième situation :
Léa dispose dès sa naissance d'une tirelire contenant 100 euros. A son premier anniversaire, ses grands-parents y déposent 50 euros, et chaque année, ils augmentent la somme déposée de 10 euros.
En supposant que Léa n'effectue aucun retrait dans sa tirelire, quel sera son montant à sa majorité ?

Dans cette situation je ne sais pas si une suite arithmétique peut s'exprimer de la façon suivante : un = u1 + r * n.

Troisième situation :
Une épidémie a atteint 10 200 personnes. On estime que le nombre de personnes atteintes augmente quotidiennement de 8% durant les 10 premiers jours.
Estimer alors le nombre de personnes qui seront atteintes après ces dix jours.

Ici, je ne sais pas si on peut dire que c'est une suite géométrique puisqu'elle fonctionne seulement pour les 10 premiers jours donc jusqu'au rang 10 ?

Merci d'avance.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 13:00

bonjour Louane112

situation 2 :
je te propose de définir clairement une suite qui représente le dépôt de l'année.
justifier le  type de suite (en effet, elle est arithmétique), son 1er terme, la raison, le terme général.

la question : quel sera son montant à sa majorité ?
il s'agira donc de la totalité (=la somme) des dépôts effectués, augmentée du capital de départ (100€).

tu vois comment continuer ?

situation 3 :
oui suite géométrique, à définir clairement, comme d'habitude : (indice du) premier terme, raison, terme général.
" le nombre de personnes qui seront atteintes après ces dix jours. " là encore, notion de somme...

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 13:55

Pas de souci pour la notion de somme mais dans la situation 2, l'histoire du premier terme me dérange.
Ici, le premier terme est u0 = 100 mais je ne peux pas définir le terme général à partir du terme u0, je dois forcément passer par u1 ? Donc la formule sera un = u1 + 10 * n (même si on utilise pas u0 ici) ?
Par contre u0 me servira pour la deuxième partie de l'exercice, c'est à dire que je l'ajouterai à la somme ?

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 14:02

le choix de l'indice du 1er terme (0 ou 1), c'est toi le qui décides, vu que tu définis la suite : tu peux prendre u0 ou u1, peu importe.

à noter toutefois que selon ton choix, l'expression du terme général devra être adaptée.

mais le souci, c'est que tu fais erreur avec u0 = 100 :
dans la mesure où tu décides que les différents termes de la suite vont représenter les dépots, le "100" ne rentre pas en compte...

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 14:06

Le problème c'est que je ne vois pas comment cela pourrait être une suite arithmétique lorsque u0 = 100.
Puis si j'introduis pas les 100 euros du début dans ma suite, comment je les introduis dans la somme ? Je ne peux pas juste rajouter 100 en justifiant, si ?

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 14:08

Je ne peux pas juste rajouter 100 en justifiant, si ? ---> eh oui !

le capital disponible à la majorité,
c'est la somme de tous les dépôts au fil des ans par les grands-parents + les 100€ mis à l'ouverture du compte.

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 14:38

D'accord j'ai compris
Je vais donc définir ma suite avec le premier terme u0 = 150, merci encore pour votre aide ! Bonne après-midi.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 14:41

non, pas 150

la suite u représente les dépôts annuels (à date anniversaire)
u0 = 50    (ou u1, comme tu veux)
u1 = 50+10
u2 = 50 + 10 + 10

suite arithmétique de 1er terme u0 = 50
de raison ..?
et donc terme général ...?

ps : je reviens sur la situation 3, pour laquelle j'ai répondu trop vite (et donc mal)
selon la suite que tu vas définir, tu n'auras pas besoin de calculer une somme.

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 14:56

Ah je pensais que un représentait le montant total à un certain âge dans la tirelire, mais d'accord. La raison sera donc 10 et un = 50 + 10 * n.

Par contre pour la situation 2 et 3, je ne comprends pas si je dois faire une somme ou juste calculer u18 et ajouter 100 (pour la situation 2) et calculer u10 (pour la situation 3) :/ Je ne pense pas que je dois faire une somme mais peut-être que je me trompe.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 15:07

un = 50 + 10n   ---- oui, si le premier terme est indicé 0, soit u0= 50

pour le montant disponible aux 18ans : chaque terme de la suite représente ce que verse les grands-parents à chaque anniversaire.

donc u18 représente seulement ce qu'ils versent la 18ème année...
ceci devrait répondre à ton interrogation

situation 3 : oui en effet, normalement v10 doit te donner le nombre de personnes infectées à la fin du 10ème jour,
... mais je ne pourrai te confirmer que lorsque tu auras défini tous les paramètres de cette suite.

==> définir clairement une suite est essentiel  pour pouvoir l'exploiter ensuite dans les calculs, soit :
- définition (explication par une petite phrase) de ce que représente concrètement chaque terme
- nature de la suite si elle est "connue"
- valeur du premier terme (et son indice !), raison, formule récurrente ou explicite...

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 15:29

en fait, le but de ton exercice, dans ces trois situations, n'est pas tant de te faire calculer avec des formules,
que de t'apprendre à définir correctement (et judicieusement) une suite numérique selon le contexte présenté dans l'énoncé.
(voir les points que je t'ai listés dans mon dernier message)

il peut y avoir plusieurs façons de traduire un énoncé par une suite numérique.
en effet, tu peux très bien décider, pour la situation 2, que les termes de ta suite représentent le total sur le compte au terme de l'année écoulée.
mais dans ce cas, la formule ne sera plus du tout la même.

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 15:30

Situation 2 :
D'accord j'ai compris ! J'avais juste mal lu l'énoncé : pour moi ils déposaient 10 euros en plus chaque année alors qu'en réalité, ils ajoutent 10 euros à la somme déposée l'année précédente
Par contre est-ce que j'aurais pu définir la suite tel que un = le montant total dans la tirelire à l'âge n de Léa ? J'imagine que non puisque lors du calcul de la somme j'aurais ajouté les 100 euros du départ 17 fois de trop ?

Situation 3 :
Oui je fais toutes ces étapes sur ma copie au préalable, selon moi :
La situation correspond à une suite géométrique u. En effet, le premier terme u0 est défini par le nombre de personnes atteintes initialement par l'épidémie. Le nombre de jour est représenté par le rang n du terme avec n qui appartient aux entiers naturels. Le nombre de personnes atteintes en plus par jour est représenté par la raison q. Enfin, le nombre de personnes atteintes au total un certain jour (un certain rang) est représenté par le terme général un de la suite.
Ainsi, la suite est géométrique de premier terme u0 = 10200 et de raison q = 108/100.
Donc le terme général un = 10200 * (108/100)^n.

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 15:35

Oui je comprends l'objectif principal. J'avais juste du mal à comprendre si on était un peu libre ou non puisqu'on peut traduire la situation avec plusieurs sortes de suites. Seulement à mon niveau, je ne connais que 2 cas de suites numériques de référence donc j'imagine que traduire les situations données par celles-ci est plus facile.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 15:39

messages croisés

ta 1ère question : je l'avais anticipée
oui, tu pourrais, mais c'est un peu plus difficile à modéliser (mais tout à fait faisable !)

situation 3 très bien

sauf peut-être ici, pas très clair :
Le nombre de personnes atteintes en plus par jour est représenté par dépend de la raison q

ou plus directement :
on obtient le nombre de personnes infectées un jour donné, en multipliant celui de la veille par le coefficient multiplicateur 1 + 8%, soit 1.08.

et pour conclure, tu calcules....?

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 15:41

Louane112 @ 31-01-2021 à 15:35

... Seulement à mon niveau, je ne connais que 2 cas de suites numériques de référence donc j'imagine que traduire les situations données par celles-ci est plus facile.
tout à fait
c'est pour cela que je t'ai orientée vers une suite qui modélise le dépôt annuel, suite arithmétique.

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 15:48

Situation 3 :
Oui je n'étais pas non plus très sûre de cette phrase puisqu'elle est en réalité fausse 😅
Je vais vais me dépêcher de la corriger pour les situations 1 et 2 également.

Pour conclure, c'est à dire pour trouver le nombre de personnes qui seront atteintes après ces dix jours, je vais calculer u10 = nombre de personnes atteintes au bout de 10 jours.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:01

oui, si u0 est le nb de cas au départ
- on en revient toujours à la même chose : définir clairement qui est qui avant de faire les calculs

tu me diras, ce que tu trouves à tes calculs ?
a+

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:12

Pour la situation 2, je trouve 2760 euros au total dans sa tirelire à ses 18 ans.
Et pour la situation 3, je trouve environ 22021,03 personnes atteintes au bout de 10 jours soit à peu près 22 021 personnes atteintes au bout de 10 jours.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:14

2) hum, doit y avoir une erreur dans l'application de la formule.
tu montres ?

3) exact

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:19

La somme S = u1 + u2 + ... + u18 = (18+1) * ((u1 + u18) / 2). Avec u1 le premier terme de la suite.

u18 = 50 + 10*18 = 230

Donc ça nous donne : S = 19 * ((50 + 230)/2) = 2660.

On ajoute 100 à la somme donc on a :
2660 * 100 = 2760 euros ?

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:32

attention à bien conserver les définitions posées au départ (par toi, à 14h56).
définition de la suite des dépôts :
u0 = 50   ---- 1er versement au terme de la 1ère année
un = 50+10n

donc la somme des 18 dépôts est   S = u0 + u2 + ... + u17

donc on calcule u17 = 50 + 10*17 = 220

Donc ça nous donne : S = 19 * ((50 + 230)/2) = 2660.  --- à reprendre

S = (nombre total de termes additionnés) * (1er terme + dernier terme) / 2  

On ajoute 100 à la somme  ---- oui

----

note : si tu avais défini le 1er terme par u1=50, au lieu de u0=50 la somme S serait de u1 à u18

et on aurait la définition suivante pour la suite :   un = 50 + 10(n-1) = 40 + 10n
(terme général)

tu vois l'importance de l'indice du 1er terme ?

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:46

Je crois avoir compris mais c'est toujours un peu flou dans ma tête. Si on choisit u1 comme premier terme pourquoi définir un = 50 + 10(n-1) ? u1 est le premier terme pas le deuxième. C'est comme si on choisissait u2 comme s'il il était le terme 0 de la suite ? C'est juste le rang qui change. Ou alors on a pas le droit de faire ça et dans ce cas là je comprends.

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:55

c'est du cours, à noter dans tes petites fiches récap' :

si le 1er terme est indicé 0, le terme général est un = u0 + nr
si le 1er terme est indicé 1, le terme général est un = u1 + (n-1)r

Si on choisit u1 comme premier terme pourquoi définir un = 50 + 10(n-1) ?
avec cette formule-là, pour u1, on a bien u1 = 50 + 10(1-1) = 50

mais si tu prends cette formule un = 50 + 10n (inadaptée, dans ce cas)
tu obtiens u1 = 50 + 10*1 = 60  ---  ça ne marche pas !

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 16:58

si tu préfères, la formule générale à retenir est  un = up + (n - p) r
(tu dois l'avoir dans le cours)

si on choisit 0 pour 1er indice, elle devient   un = u0 + (n - 0) r = u0 + nr

si on choisit 1 pour 1er indice, elle devient   un = u1 + (n - 1) r

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 17:00

Oui ok c'est plus clair comme ça. Je vais le caler dans mon cours et dans ma tête.
Merci beaucoup pour toutes vos réponses et votre patiente x)
Bonne soirée !

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 17:06

avec plaisir
à une prochaine fois sur l'

ps : tu dois trouver 2530

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 17:24

C'est exactement ce que je trouve

Posté par
carita
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 17:30

parfait
et évidemment, que l'on choisisse u0 ou u1 en premier terme - en adaptant, bien sûr -
on trouve le même résultat pour la somme.
a+

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 31-01-21 à 17:31

Oui j'ai fait le test aussi, tout est clair.



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