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Exercice sur les suites

Posté par
Louane112
15-02-21 à 14:25

Bonjour à tous,
Je bloque sur un exercice. Voici l'énoncé : On considère la suite u définie sur N par u0 = 3 et, pour tout entier n, un+1 = 2/1+un

1. A l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de cette suite et sa limite éventuelle.
2. calculer u1 et u2. Cette suite est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifier.
3. On admet que u est positive et on considère la suite v définir sur N par : vn = 1 - (3/un + 2)
a. Calculer les premiers termes de v puis conjecturer la nature de la suite v. Démontrer cette conjecture.
Aide question 3.a. : Pour montrer que v est géométrique, on calcule, pour tout n entier naturel, l'expression de vn+1 en fonction de un+1 puis on exploite la relation de récurrence de u. L'objectif à terme est d'aboutir à une relation du type vn+1 = q * vn où q est la constance conjecturée.


Je bloque à la question 3.a. J'ai calculé les 3 premiers termes et v semble être géométrique de raison -1/2. J'ai exprimé  vn+1 en fonction de un+1. On a : vn+1 = 1-(3/(2/1+ un) +2). Je sais qu'il faut que je trouve une expression du type vn+1 = q * vn mais je n'y arrive pas.

Merci d'avance pour votre aide.
(Désolée pour l'écriture mathématique pas très claire).

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 14:40

Bonjour,

il manque des parenthèses un peu partout, peut-être source de ton problème. Ajoute les dans ton développement!

ton expression de v_{n+1} est fausse

v_{n+1}=1-\dfrac{3}{u\textcolor{red}{_{n+1}}+2}

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 15:35

En fait j'ai ajouté les parenthèses ici puisque je peux pas écrire de fraction comme vous le faites mais en temps normal sur ma feuille je n'en ai pas mis.
Et mon expression de vn+1 vient de l'énoncé.

J'ai vn = 1 - (3/((un)+ 2)) mais on me dit aussi que un+1 = 2/(1+(un))


Mais étant donné le fait que vn+1 = 1 - (3/((un+1) + 2 ))  et bien je retrouve l'égalité suivante :

vn+1 = 1-(3/((2/1+ (un))+2)).

Vraiment désolée c'est pas très compréhensible, auriez vous un site qui permettrait de traduire cela de façon plus claire comme vous le faites ?

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 16:02

c'est écrit en LTX

v_n=1-\dfrac{3}{u_n+2}

avant de calculer v_{n+1} réduit d'abord le 2e membre de v_n au même dénominateur ce sera plus facile pour la suite

remplace u_{n+1} dans l'expression de v_{n+1}

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 16:52

Je trouve vn+1 = (1+un) / (4 + 2 * un)

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 17:08

tu y tiens à ton un!!

v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}


v_{n\textcolor{red}{+1}}=\dfrac{u_{n\textcolor{red}{+1}}-1}{u_{n\textcolor{red}{+1}}+2}

remplace   u_{n+1}  par

u_{n+1}=\dfrac{2}{1+u_n}

et ensuite calcule \dfrac{u_{n+1}}{u_n}

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 17:10

sorry j'avais mal lu ; tu as donné ton expression finale mais le numérateur est faux

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 17:18

Oui je me suis trompée c'est vn+1 = (1-un) / (4 + 2 * un)

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 17:19

Par contre je n'ai pas compris pourquoi je devais calculer un+1 / un

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 17:33

tu as raison c'est une coquille due à un copié-collé; c'est

calcule \dfrac{v_{n+1}}{v_n} qu'il fallait écrire

continue ton calcul

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 18:25

Pas de souci. J'ai trouvé -1/2 !
Donc la raison que l'on avait conjecturé au départ et la relation devient alors vn+1 = vn * (-1/2).

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 18:27

Ok !

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 18:50

Par contre, j'ai encore un petit souci, voici la suite de l'énoncé :

3)b. En déduire une expression de vn en fonction n (pour ça c'est bon).

3)c. Justifier que pour tout n entier naturel :

un = (3/(1-vn)) -2 (pour ça c'est bon aussi)

En déduire une expression de vn en fonction de n. Justifier alors que u est bien une suite convergente. (Là je ne comprends pas du tout comment faire surtout qu'on a déjà exprimé vn de deux manières précédemment).

Posté par
pgeod
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 19:30

Si V est une suite géométrique, il est aisé d'exprimer Vn en fonction de n (voir cours).

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 19:33

Oui effectivement vn = v0 * q ^ n
Mais c'est exactement la même question que la 3)b. et c'est d'ailleurs ce que j'ai répondu à cette suivante.

Posté par
pgeod
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 19:47

Remplace maintenant V0 et q par leur valeur.
Tu auras alors l'expression de Vn en fonction de n

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 19:50

Oui c'est ce que j'ai fait pour la question 3)b.  :/ Dois-je le refaire pour la dernière question 3)c. ? Je trouve ça assez bizarre qu'on me la repose, et je ne sais pas comment justifier que u est convergente (nous n'avons pas vu cette notion même si je comprends ce que cela veut dire) et en quoi exprimer vn nous aidera.

Posté par
pgeod
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 19:55

C'est pas Un en fonction de n qu'il faut trouver ?

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 15-02-21 à 19:58

Non c'est bien vn en fonction de n et c'est ça que je ne comprends pas.

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 16-02-21 à 10:33

Bonjour,
Avez-vous une piste pour m'aider à résoudre ce problème ?
Merci d'avance.

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 16-02-21 à 15:47

V_n=V_0\, q^n

V_n=V_0 ( -\dfrac{1}{2})^n

as-tu étudié les limites et/ou la convergence d'une suite?

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 16-02-21 à 15:53

Non je n'ai pas encore étudié cela, nous ne faisons que les conjecturer pour l'instant.

La formule que vous m'avez donné pour la suite est celle que j'ai noté pour la réponse de la question 3)b. car on me l'avait déjà demandé. Donc je ne pense pas que je devrais la remettre pour la question 3)c. surtout qu'on me dit « en déduire l'expression de vn en fonction de n » donc je dois sûrement la déduire de ce que j'ai fait au dessus.

Posté par
Pirho
re : Exercice sur les suites 16-02-21 à 15:59

puisque tu n'as pas encore étudié la convergence, tu pourrais peut-être choisir une valeur de V0 et de n ensuite calculer Vnpour quelques valeurs de n.

Tu verras que la suite converge vers 0, c-à-d que plus tu augmentes n plus tu te rapproche de 0

Ca me paraît bizarre que tu 'aies pas encore vu ces notions en cours mais c'est peut-être ce qui permettra à ton prof de parler de la convergence d'une suite

Posté par
Louane112
re : Exercice sur les suites 16-02-21 à 16:02

Je sais que ma prof a séparé ce chapitre tout au long de l'année et qu'on verra les variations et les limites plus tard. En revanche c'est de la suite u qu'on parle par rapport à la convergence et pas de v



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