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Exercice sur les suites avec sigma, récurrence

Posté par Baba07 (invité) 24-02-07 à 15:58

Bonjour !
J'ai un probleme avec les suites

Voici l'énoncé:

n désigne un entier naturel non nul et:

Sn = np=1 1/(p(p+1))

1) Démontrer par récurrence que pour tout n1

Sn = n/n+1

2)a) Vérifier que 1/(p(p+1)) = 1/p - 1/(p+1)
b)En déduire une autre méthode pour démontrer que Sn = n/n+1

Merci d'avance !

Posté par
raymond CorrecteurExercice sur les suites avec sigma, récurrence 24-02-07 à 16:32

Bonjour.

1°) Déjà, bien regarder ce que vaut cette suite :

3$\textrm S_n = \Bigsum_{p=1}^{n}\frac{1}{p(p+1)} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n.(n+1)}

Donc : 3$\textrm S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1+1}
La récurrence est exacte pour n = 1.

Supposons 3$\textrm S_n = \frac{n}{n+1}

Passons à l'ordre n+1

3$\textrm S_{n+1} = \Bigsum_{p=1}^{n+1}\frac{1}{p(p+1)} = S_n + \frac{1}{(n+1)(n+2)}

Utilisons l'hypothèse de récurrence :

3$\textrm S_{n+1} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}

C'est bien la formule demandée au rang n+1.

2°) 3$\textrm \frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} = \frac{p+1 - p}{p(p+1)} = \frac{1}{p(p+1)}

Cela signifie que chaque terme du sigma peut s'écrire comme différence de deux fractions :

3$\textrm S_n = \Bigsum_{p=1}^{n}\frac{1}{p(p+1)} = \Bigsum_{p=1}^{n}\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} = \frac{1}{1}- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier. Il reste :

3$\textrm S_n = \Bigsum_{p=1}^{n}\frac{1}{p(p+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}

A plus RR.

Posté par Baba07 (invité)re : Exercice sur les suites avec sigma, récurrence 24-02-07 à 17:01

Merci de ta réponse c'est vraiment sympa de prendre du temps pour répondre !

Je vais la relire et essayer de tout comprendre sinon je réécris un message

Merci encore

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice sur les suites avec sigma, récurrence 24-02-07 à 17:02

De rien. A plus RR.

Posté par Baba07 (invité)re : Exercice sur les suites avec sigma, récurrence 24-02-07 à 17:17

Je n'arrive pas a comprendre la toute derniere opération désolé; si tu pouvais m'expliquer merci

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice sur les suites avec sigma, récurrence 24-02-07 à 17:35

Tu as vu que dans le sigma, tous les termes disparaîssent sauf le premier : 1 et le dernier : -\frac{1}{n+1}.
Donc, S_n \ = \ 1 \ - \ \frac{1}{n+1} \ = \ \frac{n+1}{n+1} \ - \ \frac{1}{n+1} \ = \ \frac{n}{n+1}

A plus RR.

Posté par Baba07 (invité)re : Exercice sur les suites avec sigma, récurrence 24-02-07 à 17:38

Ok merci beaucoup


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