J'arrive à la gare. Je dois couper.
A plus tard.

Merci

Bonsoir à tous

PLUSIEURS CHEMINS pour ABOUTIR à une  SOLUTION POSSIBLE

I - ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS PAR L'ENONCE

A - RAPPEL DE LA METHODE DE CALCULS DITE DES "INTERETS COMPOSES"

1) L'énoncé indique que les intérêts sont calculés au taux annuel de 5 %
2) les retraits financiers sont annuels et s'élèvent chacun à  2 000 euros
3) L'énoncé ne nous indique pas la date exacte de calcul des intérêts et la date des retraits financiers :
on va supposer que ces deux opérations sont effectuées le "MEME JOUR".

B) LEXIQUE DES ABREVIATIONS UTILISEES

1) Soit C(0) le premier et unique versement effectué
2) Soit C(n) le capital acquis par le versement initial , capitalisé au taux de 5 l'an pendant "n" années et compte-tenu de "n" retraits annuels
d'une somme de 2 000 euros
3) Soit V(n) le montant des intérêts produits au cours de l'année "n" déduction faite du retrait de 2 000 euros que l'on deduit de la formule utilisée.

C) FORMULES DE MATHEMATIQUES PRECONISEES PAR L'ENONCE

1) C(0) = 100 000,00  
2)  V(n+1)  = C(n+1) - C(n)



II - LA SOLUTION DE LA MENAGERE DE 50 ANS

Cette ménagère sait faire les opérations suivantes : addition, soustraction, multiplication et division.

Cette personne a la démarche de calculs suivante :

A -QUESTION 1  : Calculer C1, C2,C3.


ANNEE  : 1
Capital acquis en début d'année :   Zéro
Au début de l'année versement capital : C( 0 )  = 100 000,0000  
Base de calcul des intérêts : C ( 0 ) = 100 000,0000  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 100 000,0000   * 5%   = 5 000,0000  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 1 ) =
100 000,0000   + 5 000,0000   -2 000,0000   = 103 000,0000  
Et  V( 1 )  =  C( 1 ) - C( 0 )
103 000,0000   -100 000,0000   = 3 000,0000  

ANNEE  : 2
En début d'année l'enfant a 1 an.
Base de calcul des intérêts : C ( 1 ) = 103 000,0000  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 103 000,0000   * 5%   = 5 150,0000  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 2 ) =
103 000,0000   + 5 150,0000   -2 000,0000   = 106 150,0000  
Et  V( 2 = C( 2 ) - C( 1 )
106 150,0000   -103 000,0000   = 3 150,0000  

ANNEE  : 3
En début d'année l'enfant a 2 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 2 ) = 106 150,0000  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 106 150,0000   * 5%   = 5 307,5000  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 3 ) =
106 150,0000   + 5 307,5000   -2 000,0000   = 109 457,5000  
Et  V( 3 = C( 3 ) - C( 2 )
109 457,5000   -106 150,0000   = 3 307,5000  

ANNEE  : 4
En début d'année l'enfant a 3 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 3 ) = 109 457,5000  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 109 457,5000   * 5%   = 5 472,8750  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 4 ) =
109 457,5000   + 5 472,8750   -2 000,0000   = 112 930,3750  
Et  V( 4 = C( 4 ) - C( 3 )
112 930,3750   -109 457,5000   = 3 472,8750  

B - QUESTION :   Au bout de combien d années le capital dépassera 150000€ ?


ANNEE  : 11
En début d'année l'enfant a 10 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 10 ) = 137 733,6776  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 137 733,6776   * 5%   = 6 886,6839  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 11 ) =
137 733,6776   + 6 886,6839   -2 000,0000   = 142 620,3615  
Et  V( 11 = C( 11 ) - C( 10 )
142 620,3615   -137 733,6776   = 4 886,6839  

ANNEE  : 12
En début d'année l'enfant a 11 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 11 ) = 142 620,3615  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 142 620,3615   * 5%   = 7 131,0181  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 12 ) =
142 620,3615   + 7 131,0181   -2 000,0000   = 147 751,3796  
Et  V( 12 = C( 12 ) - C( 11 )
147 751,3796   -142 620,3615   = 5 131,0181  

ANNEE  : 13
En début d'année l'enfant a 12 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 12 ) = 147 751,3796  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 147 751,3796   * 5%   = 7 387,5690  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 13 ) =
147 751,3796   + 7 387,5690   -2 000,0000   = 153 138,9485  
Et  V( 13 = C( 13 ) - C( 12 )
153 138,9485   -147 751,3796   = 5 387,5690  


C -QUESTION : Au bout de combien d années le capital aura dépassé le double du capital initial ?


ANNEE  : 19
En début d'année l'enfant a 18 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 18 ) = 184 397,1540  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 184 397,1540   * 5%   = 9 219,8577  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 19 ) =
184 397,1540   + 9 219,8577   -2 000,0000   = 191 617,0117  
Et  V( 19 = C( 19 ) - C( 18 )
191 617,0117   -184 397,1540   = 7 219,8577  

ANNEE  : 20
En début d'année l'enfant a 19 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 19 ) = 191 617,0117  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 191 617,0117   * 5%   = 9 580,8506  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 20 ) =
191 617,0117   + 9 580,8506   -2 000,0000   = 199 197,8623  
Et  V( 20 = C( 20 ) - C( 19 )
199 197,8623   -191 617,0117   = 7 580,8506  

ANNEE  : 21
En début d'année l'enfant a 20 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 20 ) = 199 197,8623  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 199 197,8623   * 5%   = 9 959,8931  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 21 ) =
199 197,8623   + 9 959,8931   -2 000,0000   = 207 157,7554  
Et  V( 21 = C( 21 ) - C( 20 )
207 157,7554   -199 197,8623   = 7 959,8931  

ANNEE  : 22
En début d'année l'enfant a 21 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 21 ) = 207 157,7554  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 207 157,7554   * 5%   = 10 357,8878  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 22 ) =
207 157,7554   + 10 357,8878   -2 000,0000   = 215 515,6432  
Et  V( 22 = C( 22 ) - C( 21 )
215 515,6432   -207 157,7554   = 8 357,8878  


D - QUESTION : Est il envisageable, à l échelle de l'homme, que la personne ayant placé le capital puisse disposer de 500 000€ ?


ANNEE  : 40
En début d'année l'enfant a 39 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 39 ) = 442 285,0693  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 442 285,0693   * 5%   = 22 114,2535  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 40 ) =
442 285,0693   + 22 114,2535   -2 000,0000   = 462 399,3227  
Et  V( 40 = C( 40 ) - C( 39 )
462 399,3227   -442 285,0693   = 20 114,2535  

ANNEE  : 41
En début d'année l'enfant a 40 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 40 ) = 462 399,3227  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 462 399,3227   * 5%   = 23 119,9661  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 41 ) =
462 399,3227   + 23 119,9661   -2 000,0000   = 483 519,2889  
Et  V( 41 = C( 41 ) - C( 40 )
483 519,2889   -462 399,3227   = 21 119,9661  

ANNEE  : 42
En début d'année l'enfant a 41 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 41 ) = 483 519,2889  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 483 519,2889   * 5%   = 24 175,9644  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 42 ) =
483 519,2889   + 24 175,9644   -2 000,0000   = 505 695,2533  
Et  V( 42 = C( 42 ) - C( 41 )
505 695,2533   -483 519,2889   = 22 175,9644  

ANNEE  : 43
En début d'année l'enfant a 42 ans.
Base de calcul des intérêts : C ( 42 ) = 505 695,2533  
Intérêts capitalisés en fin d'année : 505 695,2533   * 5%   = 25 284,7627  
Retrait en d'in d'année de la somme de : -2 000,0000  
En fin d'année de capital acquis est : C ( 43 ) =
505 695,2533   + 25 284,7627   -2 000,0000   = 528 980,0160  
Et  V( 43 = C( 43 ) - C( 42 )
528 980,0160   -505 695,2533   = 23 284,7627  


II - LA SOLUTION "NOBLE MATHEMATIQUE" : LES SUITES ARITHMETICO-GEOMETRIQUES

En appliquant la théorie des suites arithmético-géométriques le lecteur pourra trouver les bons résultats.

A  vous lire

J'ai le même exercice et je rencontre quelques difficultés.
Selon ce que j'ai fait

Après pour le b)
La suite semble croissante sur [0;+[.
lim cn= +
n


En premier lieu j'aimerai bien savoir si ce que j'ai trouvé est bon mais par la suite je rencontre la majeure partie de mes problèmes sur le 2.

Pour démontrer que vn est géométrique je l'exprime :


A partir de là, je n'arrive pas à plus simplifier la suite...
Pourrais-je obtenir de l'aide ? merci d'avance

Bonjour

QUESTION 1 - a

C1 = exact
C2 = exact
C3 = exact

Vous trouvez les résultats identique à la méthode de la ménagère de 50 ans (...heureusement)

QUESTION 1 - b

* la suite C(n) est "BIEN" croissante
* quand "n" tend vers l'infini on a C(n) qui tend vers l'infini

QUESTION 2

Remarque importante préliminaire : MON ventre crie famine......A bientôt.....

QUESTION 2

L'énoncé nous fournit la formule suivante :

  V(n)  = C(n+1) - C(n)
NB : Bien retenir que, ici, "V" est calculé par rapport à "C"

Il suffit de remplacer     [   C(n+1)   ] par sa valeur en C(n) et on aura :

  V(n)  =

Que l'on simplifie par

  V(n)  =

1) montrer que la suite (Vn) est géometrique, préciser sa raison et son premier terme.

a) calcul de V(1) =
(vérifiez le calcul grâce à la ménagère……)

b) calcul de V(2) =
(vérifiez le calcul grâce à la ménagère……)

c) calcul de V(3) =
(vérifiez le calcul grâce à la ménagère……)

d) Montrer que la suite V(n) est géométique

e) préciser la raison de cette suite géométrique

f) préciser le premier terme de cette suite géométrique

g) Etablir la nouvelle formule de cette suite géométrique "Vn"  SANS INTERVENTION de "C"

h) Vérifier la formule établie au point g) ci-dessus en calculant  V(1), V(2) et V(3)
(vérifiez le calcul grâce à la ménagère……)

QUESTION 2

L'énoncé nous fournit la formule suivante :

  V(n)  = C(n+1) - C(n)
NB : Bien retenir que, ici, "V" est calculé par rapport à "C"

Il suffit de remplacer     [   C(n+1)   ] par sa valeur en C(n) et on aura :

V(n)  = 1.05c_n-2000-c_n

Que l'on simplifie par

  V(n)  = 0.05c_n-2000

1) montrer que la suite (Vn) est géometrique, préciser sa raison et son premier terme.
v₀=0.05 x 100000 -2000 = 3000
a) calcul de v₁[bleu]=0.05 x 103000 -2000 = 3150[/bleu]

b) calcul de v₂=0.05 x 106105 -2000 = 3307.5

c) calcul de v₃=0.05 x 109457.5 -2000 = 3472.88

d) Montrer que la suite V(n) est géométique
On cherche un reel q tel que qv_n=v_n+1


Cela nous permet de vérifier que q=1.05

e) préciser la raison de cette suite géométrique
La raison est q donc c'est 1.05

f) préciser le premier terme de cette suite géométrique
Le premier terme de la suite est v₀=0.05xc₀-2000=3000

g) Etablir la nouvelle formule de cette suite géométrique "Vn"  SANS INTERVENTION de "C"



h) Vérifier la formule établie au point g) ci-dessus en calculant  V(1), V(2) et V(3)
(vérifiez le calcul grâce à la ménagère……)


Désolé pour le retard mais ça me semble bon.

QUESTION 2

Vous trouvez les bons résultats

QUESTION  3 :
Au bout de combien d années le capital :
     a) dépassera 150000€?

Quelle est votre analyse pour arriver au bon résultat ?

Option 1 (pour avoir  une idée du résultat): La technique de la ménagère de 50 ans
Je calcule sur un tableur un grand nombre de valeurs de C_n et je regarde quand est-ce que ça dépasse 150000

Option 2 (l'option en trop): La technique de la ménagère de 50 ans version python / algo (pour les fénéants)
Je code un algorithme qui va faire la technique de la ménagère à ma place

Option 3 (l'option cerveau): Je me sers de ce que j'ai vu jusqu'à maintenant:
Avec v_n et C_n et j'essaye de trouver une relation logique entre les deux suites qui pour le moment ne me saute pas aux yeux.

Après avoir réfléchi a tout ce qui est possible je ne vois pas ce que je pourrais faire à part la technique de la ménagère, avez vous des directives à me proposer  ?

On continue......

QUESTION 3 - a

I - UNE SOLUTION POSSIBLE

1) ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS

Vous avez proposé la solution suivante  :

e) préciser la raison de cette suite géométrique
La raison est q donc c'est 1.05

f) préciser le premier terme de cette suite géométrique
Le premier terme de la suite est v0=0.05xc0-2000=3000


2) Sous quel terme financier on désigne chaque membre de cette suite géométrique V(0) à V(n) ?


3) La question suivante à résoudre : Etablir la formule de la suite géométrique de V(0) à V(n)

4)  RESOLUTION DE LA QUESTION 3 - a

a) L'énoncé dit : le capital de départ est de  100 000 €

b) L'énoncé dit : au bout de combien d'années le capital dépassera 150 000 €

c) la question à se poser : que représente la différence, au bout de "n" années,  entre 100 000 `€ et 150 000 €

d) il est facile alors, à l'aide des logarithmes, de calculer "n".


II - UNE AUTRE SOLUTION POSSIBLE

Elle est plus difficile à établir (pour l'instant….)

Nous n'avons pas vu les logarithmes donc pensez vous que je peux l'utiliser dans la résolution de cet exercice alors que je ne suis pas sensé savoir ce que c'est ?

Après forcé de reconnaître que quand ont part du principe que nous n'avons pas vu les logarithmes, la seule solution possible est celle de la ménagère de 50 ans qui ouvre Excel et calcule les 100 premiers termes de la suite et regarde finalement pour celle valeur de n on dépasse les 150 000€

VanDusk je prends note de votre réponse.

NB (et petite rectification) :

J'ai écrit :  il est facile alors, à l'aide des logarithmes, de calculer "n".

C'est le procédé "noble mathématique" pour résoudre l'équation, mais......

ladite équation (finale) peut être résolue :

* la méthode (facile) des calculs successifs et l'extrapolation finale
* par l'utilisation de tables financières..... que nos ancêtres mathématiciens utilisaient quand les ordinateurs et calculatrices étaient encore au stade de minerais.....

l
Pour conclure : trouver l'équation finale à résoudre