Bonjour,

Et quelles sont tes réponses aux trois premières questions ?

Pour les vecteurs j'ai pour coordonnées AB(-2;7) BC(7;2) et AC(5;9).
Ensuite pour les longueurs j'ai AB=7.3cm, BC=7.3cm et AC=10.3cm.

Et pour les coordonnées du point D j'ai obtenu (5;-1).

Tout est bon !

Mais... il aurait été préférable de conserver les longueurs exactes et non pas d'en donner des approximations. Cela est en particulier nécessaire pour la suite du problème, déjà nécessaire pour répondre à la fin de la question 3 :

La nature du triangle ABC est isocèle car les cotés AB et BC sont de mêmes longueurs (racine carré  de 53).

Par la suite, le problème qui se met sur mon chemin c'est comment donner la nature de ABCD et pourquoi.

Merci de votre aide.

Le triangle ABC est en effet isocèle en B

Mais il est plus que cela...

Que vaut exactement AC ?

A oui effectivement. AC vaut (racine carré de 106) ce qui montre que AC= AB+ BC.

Donc le triangle est isocèle en B et rectangle en B aussi.

AC²=AB²+BC² plutot.

Le triangle ABC est en effet rectangle-isocèle en B

(réciproque du théorème de Pythagore) ; mais n'oublie pas les carrés ! ! AC² = AB² + BC²

Voilà qui va changer tes raisonnements pour la suite du problème

Quatrième question : comment as-tu déterminé les coordonnées de D (elles sont justes, mais je veux savoir comment tu as fait) ?
Comment prouver maintenant ta conjecture (exacte) selon laquelle ABCD doit être un carré ?

OK pour ton message de 14 h 33

Pour les coordonnées de D il y a deux raisonnements possibles que j'ai trouver. Soit en montrant que le vecteur AD=BC, soit en montrant que le vecteur BD=BA+BC.

Ensuite on change ces vecteurs par leurs coordonnées des vecteurs et on arrive à D.

D'accord. Tu appliques le théorème selon lequel un quadrilatère (non croisé) qui a deux côtés opposés égaux et parallèles est un parallélogramme.

Alors... tu sais que ABCD est un parallélogramme.
Que faut-il de plus pour pouvoir affirmer que ABCD est un carré ?

On sait que AB=BC, donc faut-il maintenant calculer les coordonnées de BC et DA?

vecteur BC(7;2)
Donc la longueur BC= "racine carré de" (7²+2²) = "racine carré de" 53

Vecteur DA(-7;-2)
Donc longueur DA="racine carré de" ((-7)² + (-2)²)= "racine carré de" 53.

Donc AB=BC=Cd=DA, donc le quadrilatère ABCD est un carré.

Est-ce exact?

Puisque AB = BC ce n'est pas n'importe quel parallèlogramme.

Comment s'appelle un parallélogramme dont deux côtés adjacents sont égaux ?

Ton message de 14 h 54

Tes calculs sont exacts.
Je modifie donc ma question :

Un parrallèlogramme dont les quatres côtés sont égaux est un carré?

ou plutot losange?

14 h 58 : exact, un losange

Que faut-il à un losange pour être un carré ?

Il faut que ses angles soient droits. Et on sait que ABC est un triangle rectangle en B. Cela suffit-il a dire que c'est un carré?

Oui cela suffit...

Tu avais (au moins) deux réponses possibles :
. un losange est un carré si ses diagonales sont égales (cela t'aurait demandé du travail supplémentaire)
. un losange est un carré si l'un de ses angles est droit (et alors les quatre sont droits) : cela ne te demande aucun travail puisque tu sais par la question précédente que l'angle en B est droit.

Continue...

Tu peux poster tes résultats au fur et à mesure ou tous ensemble à la fin ; et, si besoin, demander de l'aide !

Pour la suite:
5) Le triangle ABC est isocèle/rectangle en B, donc le centre de son cercle circonscrit se situe au centre de son hypothénuse, et donc, à l'interserction des diagonales du carré ABCD. Le rayon est donc la moitié du segment AC. Il est donc égale à (racine carré de 106) /2.

6)D appartient également au cercle, car c'est le symétrique du point B par rapport au centre du cercle circonscrit.

7)E est l'image de C par la translation de vecteur AB. Donc le vecteur AB=CE.
C a pour coordonnées (3;6).
Coordonnées de E:
Xe-Xc=Xce
Xe=Xce+Xc=-2+3=1

Ye=Yce+Yc=7+6=13

Donc E(1;13).

8)AB=CE et AB est parallèle à CE.
On sait que AC="racine carré de" 106
Vecteur BE(5;9) d'ou longueur BE="racine carré de"106

Soit AC=BE.
Si, dans un quadrilatère, les cotés opposés sont égaux, alors ce quadrilatère est un losange.

9)Vecteur AE=AB+BE
Vecteur AE(3;16)
D'ou la longueur AE="racine carré de" 265.

Donc, l'aire du losange est de:
("racine carrée de" 53 x "racine carrée de" 265) /2 = 59.3cm²


Mes résultats sont-ils correctes? Merci encore pour toute votre aide et bonne journée.

5) Oui, le centre est le milieu de [AC], point de coordonnées (1/2 , 3/2) (on ne te le demande pas)
D'accord pour le rayon

6) Oui

7) Oui

8) Non.
Ce théorème serait faux. Et ABEC n'est pas un losange. Les quatre côtés d'un losange sont égaux, ce qui n'est pas le cas. A revoir...

9) L'aire de ABEC est très facile à trouver, avec un peu de réflexion (à la place des calculs ! )

En reprennant:

AB=CE et AB est parallèle à CE.
On sait que AC="racine carré de" 106
Vecteur BE(5;9) d'ou longueur BE="racine carré de"106

Soit AC=BE.
Si, dans un quadrilatère, les cotés opposés sont égaux, et que deux de ses côtés sont parallèle, alors c'est un parallèlogramme.

Est-ce plus exact?

Merci encore!

Ce n'est pas très bien dit. Et tu peux faire beaucoup plus simple.

Par construction du point E tu sais que

Des vecteurs ! Pas seulement des longueurs ! Il y a beaucoup plus d'information dans l'égalité de deux vecteurs que dans celle de deux longueurs.

Donc... ABEC est un parallèlogramme (quadrilatère dont deux côtés opposés sont égaux ET parallèles)

Question 9 : A l'aire de quelle autre quadrilatère très facile à calculer est égale l'aire de ABEC ?

A l'aide du rectangle?

Je suppose que tu as voulu écrire que l'aire de ABEC est égale à l'aire du carré ABCD
C'est vrai

Il faut le montrer mais c'est fort simple.

Quant à l'aire d'un carré dont le côté vaut 53 il n'est pas très difficile de la calculer

Oui je vois. Merci beaucoup. Votre aide  m'a été précieuse.

Bonne journée à vous et encore merci!

Je t'en prie.
A une prochaine fois !