Soient X,Y,x et y quatre réels tels que X²+Y² différent de 0  


A///  vérifier ke  (x+iy)² = X+ Yi   équivaut au systéme    


x² - y² = X          (1)  
2xy=Y                 (2)  
x²+y²= racine carrée de X²+Y²            (3)  




B////  


A partir des égalités (1) et (3), exprimer x² et y² en fonction de

X et Y.  


C/////  

Prouver que l égalité (2) permet de préciser  le signe de x et de y.  



D//////  

En déduire qu'il existe toujours 2 couples (x;y)  de  solutions

de ce systéme.On dit alors que le complexe u= x  +  iy  est une racine

carrée de Z=X + iY.  




E/////////  


trouver les racines carrées de :  
5+12i  

-3-4i  


-24+10i  



*** message déplacé ***

Bonjour,

Je pense que tu peux y arriver en gardant à l'esprit les notions
suivantes:

  (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 que a,b soient réels ou complexes.

  i^2 = -1

  
A// En développant et en disant que 2 nombres complexes sont égaux si/si
leurs parties réelles et complexes sont égales.


  => (1) et (2) sont alors faciles à démontrer.

Pour le (3)  (x^2 + y^2)^2 développe cette expression et remplace les
termes par ceux de (1) et (2). Tu tomberas sur l'égalité (3)


B// Si tu fais équation (1) + (3) => x^2 = f(X,Y)
Si tu calcules (1) -(3) => y^2 = g(X,Y)


C// Si Y>= 0 => x et y sont de même signe
Si Y < 0 => x et y sont de signe opposé

D// D'après ce que précède, tu peux en déduire de B// que

  x = +racine ( f(X,Y)) ou - racine(f(X,Y))

  y = +racine ( g(X,Y)) ou - racine(g(X,Y))


De C// si Y>= 0 =>  (+racine ( f(X,Y)) ,+racine ( g(X,Y)) )
                                   (-racine ( f(X,Y)) , -racine (
g(X,Y)) ) sont les
                                   2 couples possibles

Si Y <= 0 =>=>  (+racine ( f(X,Y)) ,-racine ( g(X,Y)) )
                              (-racine ( f(X,Y)) , +racine ( g(X,Y))
) sont les
                               2 couples possibles

E// Applique ce que tu viens de trouver.


Bonne chance



                                  


*** message déplacé ***