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Exercice sur polynôme de degré 4
Bonsoir !
Voici un exercice avec lequel j'ai beaucoup de mal : la preuve, je ne sais même pas comment commencé.
Voici l'énoncé:
Considérons le polynôme du second degré x^2+ax+b avec des coefficients réels. On sait que la condition nécessaire et suffisante sur ce polynôme pour posséder des racines réelles est que son discriminant a^2−4b soit supérieur ou égal à 0. Noter que ce discriminant est aussi un polynôme de variables a et b. Prouver que la même chose n'est pas vraie pour les polynômes de degré 4 : Montrer qu'il n'existe pas de polynômes à 4 variables P(a,b,c,d) tel que le polynôme x^4+ax^3+bx^2+c^x+d s'écrive comme un produit de 4 polynômes de degré 1 si et seulement si P(a,b,c,d)≥0 (tous les coefficients étant réels).
Si je poste ici, c'est juste pour avoir une idée de comment partir, je ne veux surtout pas voir la solution à cet exercice(désolé je n'ai aucune idées à présenter pour l'instant)
Bonsoir granolaaa
Tout polynôme de degré 4 peut être, à minima, factorisé en deux polynômes de degré 2.
Tu peux donc toujours écrire ceci :
.
Et maintenant, tu travailles sur les facteurs de cette décomposition et le signe de leur produit.
Bonjour,
J'ai également commencé cet exercice, que j'ai trouvé sur un poly, mais même avec le conseil donné, je reste bloqué, quelqu'un aurait-il une piste supplémentaire ?
Je vous remercie d'avance.
salut
applique la règles du discriminant aux deux facteurs de degré 2 de la factorisation donnée par jsvdb
J'avais déjà un peu essayé de faire une sorte d'étude de signe des 2 discriminants des 2 polynômes du second degré, et on peut voir qu'il y a un problème, puisque le produit des discriminants est positif soit lorsque les 2 discriminants sont positifs soit lorsqu'ils sont tous les 2 négatifs.
Mais je ne vois pas comment en déduire qu'il n'existe aucun polynôme P(a,b,c,d), tel que le polynôme x^4+ax^3+bx^2+c^x+d s'écrive comme un produit de 4 polynômes de degré 1 si et seulement si P(a,b,c,d)≥0
Je vous remercie d'avance.
Car qui nous dit qu'il n'existe pas un autre polynôme P(a,b,c,d) autre que le produit des 2 discriminants qui pourrait respecter l'équivalence.
Ou plutôt comment prouver qu'il n'existe pas d'autres possibilités ?
notons d(x, y) la fonction discriminant : si alors
si alors il peut se factoriser de trois façons différentes en produit de deux trinômes (choix de deux racines parmi 4)
et on peut écrire
et on doit donc avoir les conditions et
pour i variant de 1 à 3
mais je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick ...
par contre peut-on exprimer les coefficients a_i, b_i, ... en fonction de a, b, c et d : il me semble que non puisqu'on a trois factorisations et c'est ce qui distingue du cas du second degré où la factorisation est unique ...
mais bon ça me semble encore un peu léger ...
PS : si tu as la solution ensuite il serait sympa de nous la partager, merci par avance !
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