Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 3 +

Niveau Maths sup
Partager :

Exercice sur Sommes et nombres complexes

Posté par
pfff 18-11-20 à 20:40

Bonsoir, tout d'abord je suis  désolé pour le manquement que j'ai eu, j'aimerais de l'aide afin de pouvoir faire cet exercice. Merci

ENONCE

Soit n un entier naturel avec n 2, et soit d {2, ....., n }. Le but de l'exercice est de calculer la somme :

               \large \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{sin²(\frac{dk\pi }{n})}{sin²(\frac{k\pi }{n})}}

Q1 - Soit ]0 ; [.

             a- Montrer que : \frac{sin(d\theta )}{sin(\theta )} = e^{-i(d-1)\theta } * \sum_{p=0}^{d-1}{e^{2ip\theta }} = e^{i(d-1)\theta } * \sum_{q=0}^{d-1}{e^{-2iq\theta }}

           b - En déduire que : \frac{sin²(d\theta )}{sin²(\theta )} = \sum_{q=0}^{d-1}{\sum_{p=0}^{d-1}{e^{2i(p-q)\theta }}}


              c - Montrer que : \frac{sin²(d\theta )}{sin²(\theta )} = d+2 \: \sum{\:cos(2(p-q)\theta })
                                                                                    0 q < p d-1


Q2 - En déduire l'expression de  \large \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{sin²(\frac{dk\pi }{n})}{sin²(\frac{k\pi }{n})}}

Q3- Soient p et q deux entiers tels que 0 q p d-1, montrer que \sum_{k=1}^{n-1}{e^{i\frac{2(p-q)k\pi }{n}}} = -1

Q4 - En déduire la valeur de la somme \large \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{sin²(\frac{dk\pi }{n})}{sin²(\frac{k\pi }{n})}} en fonction de d et n

je ne vois pas comment commencer la première question

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 21:14

Bonsoir,

Pour la 1)a) tu peux raisonner par récurrence et faire l'hérédité par chaîne d'équivalences (a=b ssi a - b = 0 ssi ... ssi 0=0)

Posté par
Aalex00re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 21:18

Bonsoir pfff,

Une deuxième méthode pour la 1)a) c'est d'utiliser la formule de la somme géométrique puis de passer aux sinus avec 2i*sin()=exp(i)-exp(-i).

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 21:23

Effectivement, et c'est plus simple que ma méthode. Bien vu

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 21:56

en fait ce que j'ai pas compris c'est que je dois montrer quoi est égale à quoi vu qu'il ya deux égalités

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 22:03

L'égalité de gauche se montre avec les indications qu'on a données.
Celle de droite se montrer en faisant un changement d'indice dans la somme

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 22:30

\sum_{p=0}^{d-1}{e^{(2i\theta)^p }} = \frac{1-e^{(2i\theta )^d}}{1-e^{2i\theta }}

            = \large \frac{e^{i0 - e^{2id\theta }}}{e^{i0} - e^{2i\theta }}

             = \large \frac{-2isin(d\theta)e^{-i\theta d} }{-2isin\theta \, e^{-i\theta }}

              = \large \frac{sin(d\theta )e^{-id\theta }}{sin\theta \, e^{-i\theta } }

en tant normal si je multiplie par e^{-i(d-1)\theta } je dois trouver le \frac{sin(d\theta )}{sin(\theta )} mais ca ne passe pas

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 22:43

Parce que tu as fait une faute à la 3e ligne.
Il n'y a pas de "moins" dans les exponentielles

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 22:47

ah oui merci beaucoup j'ai pu faire avec la question b aussi qui consiste a faire la multiplication des deux résultats de \frac{sin(d\theta )}{sin(\theta )}

j'attaque la question c  

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 23:25

je ne comprends pas la question c je n'arrive pas à trouver le resultat

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 23:46

La b) te donne une égalité, où le terme de droite est un réel, donc celui de gauche aussi, donc le terme de gauche est égal à sa partie réelle.
Ensuite tu regardes les cas p< q, p =q, p > q

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 18-11-20 à 23:54

mais le fait d'étudier ces différents cas servent à quoi ?

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:01

Tu vois que le terme que tu veux obtenir a une somme indexée sur p<q, comme si on avait oublié les p \geq q, donc en regardant les différents cas on comprend où ils sont passés.

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:08

j'ai pas encore bien compris

au fait pour la question c je dois démontrer en partant de la gauche ou de la droite ou je dois  utiliser l'expression obtenue en b

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:11

Citation :
p<q


c'est plutot q<p

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:12

La b) te donne que le terme de gauche de c) est égal à une certaine quantité.
Montre que cette quantité est égale au terme de droite dans c)

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:13

Oui, j'ai mal lu la somme

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:14

ah ok donc je pars du terme de droite dans b pour trouver le resultat

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:21

\sum_{q=0}^{d-1}{\sum_{p=0}^{d-1}{}} = \; \; \sum{}
                  0 p ; q d-1

c'est un peu bizarre d'aboutir à leur somme

Posté par
Razesre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:32

Bonsoir,

Une petite remarque pour le a)
Pour la deuxième égalité,  il suffit de dire que le 1er terme est un réel donc le 2ème aussi donc est égal à son conjugué qui est le 3ème.

Posté par
Razesre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:36

Pour la c) il suffit d'écrire quen le terme de droite est égal à la demie somme du membre de droite et son conjugué.  Du moment que ce sont des réels.  Cqfd

Posté par
Razesre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:38

\frac{sin²(d\theta )}{sin²(\theta )} = \sum_{q=0}^{d-1}{\sum_{p=0}^{d-1}{e^{2i(p-q)\theta }}}= \sum_{q=0}^{d-1}{\sum_{p=0}^{d-1}{e^{-2i(p-q)\theta }}}

Posté par
Razesre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:41

a=b=\bar b=\dfrac {b+\bar b}{2}

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:53

Citation :
il suffit d'écrire quen le terme de droite est égal à la demie somme du membre de droite et son conjugué


j'ai pas bien compris cette partie

du fait que c'est un réel il est égal à son conjugué donc on a ca :

\frac{sin²(d\theta )}{sin²(\theta )} = \frac{1}{2} \sum_{q=0}^{d-1}{\sum_{p=0}^{d-1}{e^{2i(p-q)\theta }}} + \sum_{q=0}^{d-1}{\sum_{p=0}^{d-1}{e^{-2i(p-q)\theta }}}

mais ca ne permet pas de trouver le resultat

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:56

j'ai oublié un 1/2

Posté par
Razesre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 00:58

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 02:08

je dois faire la somme des deux pour trouver le resultat ?

Posté par
Razesre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 07:52

Oui, car :
\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 10:45

ok merci beaucoup

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 10:48

pour trouver la question Q2 je dois sommer le resultat obtenu en c ?

parce que ca me semble un peu difficile

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 11:45

Q3 est là pour ça. Pour Q2 tu peux sommer le terme de c) et juste écrire "partie réelle de la somme = somme de la partie réelle".
Tu fais ainsi apparaître l'exponentielle qui permet à Q3 d'être utile.

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 20:25

En sommant le résultat obtenu en c on a :

\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{sin²(d\theta )}{sin²(\theta )}} = \sum_{k=1}^{n-1}{d}+2\sum_{k=1}^{n-1}{} \: \sum{\:cos(2(p-q)\theta })
                                                             0 q < p d-1


je ne pense pas avoir répondu à la question mais aussi je n'ai pas bien compris cette partie

Citation :
juste écrire "partie réelle de la somme = somme de la partie réelle".

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 20:34

\cos(x) = Re(e^{ix})

(tu as un cosinus, la question d'après parle d'exponentielle, et je te parle de partie réelle)

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 20:51

mais on avait une somme double devant le cosinus et on rajoute une somme donc on a trois sommes devant le cosinus c'est ca qui me mélange un peu

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 19-11-20 à 20:58

Tu peux l'écrire comme

\sum\limits_{k} \sum\limits_{q} \sum\limits_{p} a_{k,p,q}

où (a_{k,p,q}) est une famille indexée par un certain E \times F \times G
Etant donné que E,F,G sont finis, tu peux permuter les sommes autant que tu veux.

Si tu ne vois pas pourquoi je t'invite à comprendre le cas avec 2 sommes. Car c'est le même principe.

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 00:45

devant ces sommes on aura cos ( 2p\theta -2q\theta ) je l'utilise comment

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 00:48

Tu dois d'abord remplacer \theta par la bonne valeur (qui dépend de k)

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 01:04

je comprends pas

le cos ( 2p\theta -2q\theta )  ne depend pas de k non ?

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 01:05

Pour la Q2 tu comptes prendre quoi comme \theta ?

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 01:16

je pense 2(p-q)

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 01:18

Prendre \theta = 2(p-q)\theta ? Mais c'est quoi \theta ?
L'énoncé de Q2 ne pose de \theta nulle part, c'est à toi de le choisir.

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 01:31

oui j'ai vu on prendra = k/n

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 01:32

Ok, donc qu'est-ce que ça donne quand tu injectes Q1)c) dans Q2) et que tu fais apparaître une exponentielle ?

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 17:16

On a  :

\frac{sin²(d\frac{k\pi }{n} )}{sin²(\frac{k\pi }{n} )} = d+2 \: \sum{\:cos(2(p-q)\frac{k\pi }{n} })
                                     0 q < p d-1

mais je n'ai pas encore répondu à la question Q2, je ne vois pas trop comment faire

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 17:30

Le but de la Q2 n'est pas d'avoir une belle expression. Ca c'est la Q4.
L'idée c'est :
La Q2 donne une première expression pas très belle.
La Q3 donne une autre égalité
La Q4 demande d'injecter Q3 dans Q2 pour avoir une expression finale.

Donc pour faire Q2, je te conseille de faire apparaître le terme de Q3.
D'où les parties réelles dont je te parle

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 17:32

d'accord

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 17:44

J'obtiens :

\huge \large \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{sin²(\frac{dk\pi }{n})}{sin²(\frac{k\pi }{n})}}=(n-1)d +2\; \sum{\; \; \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{e^{i\frac{2(p-q)k\pi }{n}} + e^{-i\frac{2(p-q)k\pi }{n}}}{2}}}

Posté par
pfffre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 17:45

comme c'etait petit j'ai agrandi

Posté par
Maru0re : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 17:48

Ok, il manque l'indexation de la somme sur p,q par contre.
Tu peux regarder les questions suivantes.

Posté par
Razesre : Exercice sur Sommes et nombres complexes 20-11-20 à 17:48

Bonjour,

Oui, c'est ça.

1 2 3 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1750 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !