bonjour, j'ai fait un exercice sur les espaces vectoriels mais je n'est pas tous compris :

Enonce :

    - On défini sur R² la loi de composition interne usuelle

R² x R² --> R²

((x1,x2),(y1,y2)) --> (x1 + y1, x2 + y2)

et la loi de composition externe *

R x R² --> R²

(,(x1,x2)) --> (x1,x2) = *(x1,x2)

(R²,+,*) est-il un espace vectoriel sur R ?

     - Même question en remplaçant * par . défini par :

R x R² --> R²

(,(x1,x2)) --> (²x1,²x2) = .(x1,x2)

REMARQUE :
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On définit sur R² la loi de composition

R² x R² --> R²

((x1,x2),(y1,y2)) --> (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1)  = (x1,x2)(y1,y2)

Et la loi de composition externe *

R x R² --> R²

(,(x1,x2)) --> (x1 - (1-),x2-(1-))=*(x1,x2)

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REPONSE :
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V et V' sont des vecteurs de coordonnées (x1,x2) et (y1,y2)

+ (V+V')= x (x1+y1, x2+y2) = ((x1+y1),x2+y2) = (x1+x2,x2+y2)

*V+*V' = * (x1,x2) + *(y1,y2) = (x1,x2) + (y1+y2)

on a bien *(V+V') = *V + *V' = (x1+y1,x2+y2)

1) Quelle propriété utilise t-on pour en arriver là ?
2) d'où sort
3) pourquoi fait on cela ?

Soit ,R, V=(x1,x2)

(+)*V = ((+)x1,x2)

*V+*V = *(x1,x2)+*(x1,x2)
= (x1,x2) + (x1,x2)
= (x1 + x1, 2x2)

si x2 0 alors (+)*V *V+*V

5) Alors c'est un espace vectoriel ?

on utilise la propriete sur la loi externe : ,R,(+).V=.V+.V

,R, V=(x1,x2)R²
(+).V = (.).(x1,x2) = ((+)²x1,(+)²x2)

.V+.V = (²x1,²x2)+(²x1,x1)
=((²+²x1,(²+²)x2)

donc en général c'est différent
²+²(+)² si 0

Donc par exemple pour ==1 et x10

(+).V.V+.V

6) Pourquoi utilise t-on ces propriétés et pas d'autre pour démontrer que c'est un espace vectoriel ?

Les questions que je me pose sont celles écrites en gras.

Je vous remercie d'avance !