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Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide

Posté par ledealerderimes (invité) 10-04-05 à 10:07

Si vous pouviez m'aider a resoudre cet exercice sur les suites car j'ai du mal avec ce thème.

Pour tout entier n superieur ou egal a 2, on définit su l'intervalle
]0;+l'infini[ la fonction Fn par:
                 Fn(x)=xn(2Ln(x)-1)

1) Déterminer la fonction dérivée Fn' et demontrer qu'elle s'annule une seule fois sur ]0;+l'infini[ en un réel An.

2)a)Exprimer An en fonciton de n.
  
b)Démontrer que, pour tout entier n superieur ou egal a 2, on a:
     1 ,inferieur ou egal a, An , inferieur ou egal a, racine de e
  
c) Etudier les variations de la suite (An)
  
d)Préciser le comportement de (An) lorsque n tend vers +l'infini


Merci d'avancce de l'aide que vous m'apporterez.

Posté par
isisstruissre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 10-04-05 à 10:55

Bonjour ledealerderimes!

F_n(x)=x^n(2ln(x)-1)\\ F_n^'=nx^{n-1}(2ln(x)-1)+\frac{2}{x}x^{n}=2x^{n-1}(nln(x)-n+1)

\array{rl$F_n^'(x)=0&\Rightarrow (nln(x)-n+1)=0\\ &\Rightarrow ln(x)=\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}\\ &\Rightarrow x=e^{1-\frac{1}{n}}}

Je te laisse essayer la suite...

Isis

Posté par
muriel Correcteurre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 10-04-05 à 10:57

bonjour ,
surtout que personnellement, je ne comprends pas ceci:
1 ,inferieur ou egal a, An , inferieur ou egal a, racine de e

Posté par
isisstruissre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 10-04-05 à 11:18

Je crois avoir compris. An est le zéro de Fn'. Donc A_n=e^{1-\frac{1}{n}} et l'inégalité dit que
1\le A_n\le \sqrt{e}\textrm{ avec }n\in\mathbb{N}\;n\ge2

Isis

Posté par
muriel Correcteurre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 10-04-05 à 11:21

ok, moi, je ne sais pas pourquoi, j'ai rajouté une lettre a
n'importe quoi
merci Isis

Posté par
muriel Correcteurre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 10-04-05 à 11:25

tu as commis une erreur Isis, il me semble ici:

F_n(x)=x^n(2ln(x)-1)\\ F_n^'=nx^{n-1}(2ln(x)-1)+\frac{2}{x}x^{n}=2x^{n-1}(nln(x)-n+1)

pourquoi tu as factoriser par 2, je ne crois pas que tu puisses le faire à cause tu 1.
non?
moi, je trouve ceci:
F'_n(x)=x^{n-1}(2n\;ln(x)-n+2)

Posté par
isisstruissre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 10-04-05 à 12:06

Effectivement j'ai commis une erreur. Merci muriel! Deux correcteurs ne sont jamais de trop!

Isis

Posté par
muriel Correcteurre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 10-04-05 à 17:29

en effet

Posté par ledealerderimes (invité)re : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 11-04-05 à 08:10

Merci pour toutes votre aide!!!

Pour Fn'=0 je trouve x=exponentielle((n-2)/2n)
D'aprés vous c'est la bonne reponse?

Sinon les questions 2)a) et 2)b) me blocke de ce fait je ne peut pasfaire la suite...

Merci encore!

Posté par
isisstruissre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 11-04-05 à 08:44

Je suis d'accord avec toit pour Fn'=0.

Tu ne te rends pas compte, mais tu as déjà fait le (2a). Il suffit de dire que A_n=e^{\frac{n-2}{2n}}=e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}

Je ne comprends pas pourquoi la question (2a) vient avant la question (2c). J'aurais d'abbord regardé les variations de An pour ensuite donner un encadrement...

Isis

Posté par ledealerderimes (invité)re : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 11-04-05 à 09:12

A oui pour la 2)a) c'est exact!

Sinon par rapport a la 2)b) e je ne comprend pas..Cela s'ignifie e1 ou il s'agit d'otre chose?

MERCI

Posté par
isisstruissre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 11-04-05 à 09:45

Un exposant fractionnaire correspond à une racine. Dans ton cas on a

e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}

Isis

Posté par ledealerderimes (invité)re : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 12-04-05 à 08:37

Merci du renseignemen isisstruiss du renseignement.

En effet c'est pas si facile cette inequation.

Posté par ledealerderimes (invité)re : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 12-04-05 à 19:25

Une petite aide pour les 3 dernieres questions svp
Je vous remerci d'avance

Pour tout entier n2, on définit su l'intervalle ]0;+[ la fonction Fn par:
                 Fn(x)=xn(2Ln(x)-1)

1) Déterminer la fonction dérivée Fn' et demontrer qu'elle s'annule une seule fois sur ]0;+[ en un réel An.

2)a)Exprimer An en fonciton de n.
  
b)Démontrer que, pour tout entier n2, on a:
     1Ane
  
c) Etudier les variations de la suite (An)
  
d)Préciser le comportement de (An) lorsque n tend vers +

Posté par
isisstruissre : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 12-04-05 à 21:54

A_n=e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}=\sqrt{e}\cdot e^{-\frac{1}{n}

Comme e^{-\frac{1}{n} est une fonction strictement croissante sur [2,\infty[, on a A_2\le A_n\le\lim_{n\rightarrow\infty}A_n

Voilà pourquoi je trouve que la question (b) devrait venir après la (c) et la (d). Il doit y avoir un autre moyen de faire la (b)...

Isis

Posté par Djidanetag (invité)re : Exercice sur suite et reccurence besoin de votre aide 24-04-05 à 14:25

Slt All!!

Jpense avoir un débu de réponse pour la 2 a)...

On a n≥2 d'ou :
1/n≥1/2
-1/n≥-1/2
1/2-1/n≥1/2-1/2
An≥1

Or √e = e^1/2 > e^1/2-1/n...( logique) D'ou : 1≤ An <e


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