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exercice sur triangle barycentre et alignement

Posté par
skydune24 28-12-10 à 13:58

bonjour à tous

Soit un triangle ABC - B'le milieu AC et C'le milieu de AB -
ce qui va suivre sont des vecteurs
BI = 1/3BC et BJ =2/3 BC et C'H= 3/5C'J
Montrer que :
1) H est le barycentre de (A,1) (B,2) (C,2)
2)les points I B H sont alignés

Pour le 1- si H est le barycentre alors HA+2HB+2HC = vecteur 0  
mais je n'arrive pas a intégrer les données pour le démontrer
pour le 2- il faut demontrer que IB'=kIH et je bloque aussi

merci de votre aide

Posté par
dhaltere : exercice sur triangle barycentre et alignement 28-12-10 à 14:14

C'est de la pure et bestiale manipulation d'équations;

B' milieu de [AC]
\vec{AB'}=\frac12\vec{AC}

C' mileu de [AB]
\vec{AC'}=\frac12\vec{AB}

\vec{BI}=\frac13\vec{BC} \\ \vec{BJ}=\frac23\vec{BC} \\ \vec{C'H}=\frac35\vec{C'J}

Il reste à montrer que \vec{AH}+2\vec{BH}+2\vec{CH}=\vec0

Posté par
dhaltere : exercice sur triangle barycentre et alignement 28-12-10 à 14:30

Plusieurs manières d'y arriver, certaines plus rapides que d'autres, plus élégantes...

On part de \vec{C'H}=\frac35\vec{C'J} et on s'arrange pour éliminer tous les points sauf A, B C et évidemment H


5\vec{C'A}+5\vec{AH}=3\vec{C'A}+3\vec{AB}+3\vec{BJ}

5\vec{AH}=2\vec{AC'}+3\vec{AB}+2\vec{BC}

5\vec{AH}=4\vec{AB}+2\vec{BC}

5\vec{AH}=4\vec{AH}+4\vec{HB}+2\vec{BH}+2\vec{HC}

\vec{AH}+2\vec{BH}+2\vec{CH}=\vec0

Posté par
Priamre : exercice sur triangle barycentre et alignement 28-12-10 à 14:33

En variante, tu pourrais essayer de définir H comme barycentre de C ' et J, puis C' comme barycentre de A et B, et enfin J comme barycentre de B et C, tout cela te conduisant à  H bar (A,1),(B,2),(C2).

Posté par
watikre : exercice sur triangle barycentre et alignement 28-12-10 à 14:39

bonjour

1)
HA=HC'+C'A
  =(3/5)JC'+1/2BA
  =-2/5BC+4/5BA

HB=HC'+C'B
  =-2/5BC-1/5BA

HC=HC'+C'C
  =3/5BC-1/5BA
donc
HA+2HB+2HC=-2/5BC+4/5BA-4/5BC-2/5BA+6/6BC-2/5BA=0

2)BI=1/3BC
et HA+2HB+2HC=0 donc
BH=HC+1/2HA
  =3/5BC-1/5BA+(1/2)(-2/5BC+4/5BA)
  =3/5BC-1/5BC-1/5BA+2/5BA
  =2/5BC+1/5BA
B'I=B'B+BI
   =-1/2BA-1/2BC+1/3BC=-1/6BC-1/2BA
B'H=B'B+BH
   =-1/2BA-1/2BC +2/5BC+1/5BA
   =-1/10BC-3/10BA
B'I=-4B'H donc B' H et I sont alignés

Posté par
skydune24re : exercice sur triangle barycentre et alignement 28-12-10 à 23:02

je vous remercie tous les deux de votre aide

Posté par
skydune24re : exercice sur triangle barycentre et alignement 03-01-11 à 02:26

pour le 2/ je ne suis pas arrivée à retrouver pourquoi B'I=-4 B'H
on dit que B'H=-1/10BC-3/10BA
           B'I=1/6BC-1/2BA
en multipliant B'H par -4 je ne trouve pas BI
MERCI DE VOTRE AIDE

Posté par
dhaltere : exercice sur triangle barycentre et alignement 03-01-11 à 14:03

Bonne année.

Donc
5$\vec{AH}+2\vec{BH}+2\vec{CH}=\vec0 \\ \vec{BI}=\frac13\vec{BC}

Pour montrer que B', H et I sont alignés, on va montrer que les vecteurs 5$\vec{B'H} et 5$\vec{B'I} sont colinéaires

5$\vec{AH}+2\vec{BH}+2\vec{CH}=\vec0

On fait apparaitre 5$\vec{B'H} et aussi deux des autres vecteurs du triangle (par exemple 5$\vec{AB} et 5$\vec{AC}
5$\vec{AB'}+\vec{B'H}+2(\vec{BA}+\vec{AB'}+\vec{B'H})+2(\vec{CA}+\vec{AB'}+\vec{B'H})=\vec0

On simplifie
5$5\vec{AB'}+5\vec{B'H}+2\vec{BA}+2\vec{CA}=\vec0

On rappelle que 5$\vec{AB'}=\frac12\vec{AC}
5$\frac52\vec{AC}+5\vec{B'H}+2\vec{BA}+2\vec{CA}=\vec0

5$\frac52\vec{AC}+5\vec{B'H}-2\vec{AB}-2\vec{AC}=\vec0

5$5\vec{B'H}-2\vec{AB}+\frac12\vec{AC}=\vec0

5$5\vec{B'H}=2\vec{AB}-\frac12\vec{AC}

A l'autre, maintenant
5$\vec{BI}=\frac13\vec{BC}

On fait apparaitre 5$\vec{B'I} et aussi les deux autres vecteurs du triangle (ceux choisis dans l'étape précédente)

5$\vec{BA}+\vec{AB'}+\vec{B'I}=\frac13(\vec{BA}+\vec{AC})

On simplifie
5$-\vec{AB}+\frac12\vec{AC}+\vec{B'I}=-\frac13\vec{AB}+\frac13\vec{AC}

5$\vec{B'I}=\vec{AB}-\frac12\vec{AC}-\frac13\vec{AB}+\frac13\vec{AC}

5$\vec{B'I}=\frac23\vec{AB}-\frac16\vec{AC}

Finalement, on a
5$5\vec{B'H}=2\vec{AB}-\frac12\vec{AC}
c'est à dire
5$10\vec{B'H}=4\vec{AB}-\vec{AC}

5$\vec{B'I}=\frac23\vec{AB}-\frac16\vec{AC}
c'est à dire
5$6\vec{B'I}=4\vec{AB}-\vec{AC}

Donc on a
5$10\vec{B'H}=6\vec{B'I}

C'est à dire
5$\vec{B'H}=\frac35\vec{BI}

exercice sur triangle barycentre et alignement


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