salut

rond se note par un petit o et si tu fais ce genre d'exo il est quasi certain que ce soit cette notation qui soit utilisée ... alors pourquoi en changer ?

soit les propositions :

P : pour tout x de [a, b] : f(x) x
Q : pour tout x de [a, b] : f o f (x) x

et tu veux montrer P => Q

ce n'est pas en partant de non P que tu vas y arriver ...

peut-être par contraposée plutôt en partant de non Q et en arrivant à non P ...

tout d'abord je pense que le pb est mal posé ou incomplet : imprécision sur f ...

si on pose g(x) = f(x) - x alors remarquer que P <=> g garde un signe constant

supposons par exemple que g > 0  <=> f(x) > x    (1)

supposons qu'il existe c tel que f o f (c) = c et posons f(c) = d

d'après (1) on en déduit que d > c ...

mézalor f(d) = c ... contradiction ...

Bonsoir,
Juste en passant :
Si Q est "pour tout x de [a, b] : f o f (x) x"
alors non Q est bien "il existe c de [ab] tq fo f(c)=c", non ?

Et c'est ce qu'a écrit AZER1957 :

certes !!  j'ai mal lu :

salut
merci pour la notation  de la composée de deux applications j ai essayé  la commande  "\rond" dans latex     mais ca a pas marché

j ai supposé  non Q   est vraie cad  qu il existe  c de      [ab]   tq    fo f(c)=c
apres soit je trouve une contradiction avec   P   ET C EST le raisonnement par absurde
soit je démontre  que non P est vraie  et c est le raisonnement par  contraposé

alors revois ce que sont les raisonnements par l'absurde et par contraposée

A : P => Q est une proposition qui est vraie ou fausse

B : non Q => non P est de même une proposition appelée contraposée de la précédente

et ces deux propositions sont équivalentes donc montrer A est équivalent à montrer B

et il n'y a pas à supposer P vraie quand on fait un raisonnement par contraposée !! (mais à supposer non Q vraie et à prouver que non P est vraie)

...

merci carpediem
dans le cas de cet exercice
la question demandée est  montrer que l equation  fo f(x)=x    n admet pas de solution ds  [ab]
je procede par absurde  je suppose que  non Q   est vraie cad  qu il existe  c de      [ab]   tq    fo f(c)=c et je dois chercher une contradiction
c est vraie ou non ?

si tu ne veux pas lire ce que j'écris alors je ne peux rien pour toi ...

Bonjour,
Un peu réchauffé :
Pourquoi envisager une démonstration par l'absurde ou à partir de la contraposée quand une démonstration directe fonctionne très bien ?

Première donnée : La fonction f est continue sur [ab] et pour tout x de [a,b] f(x) x .
Pour pouvoir parler de fof(x) pour tout x de [a,b] , il faut une autre donnée : f(x) ne peut pas être n'importe où.
Donnée manquante à préciser.

Une fois précisée cette seconde donnée, on peut démontrer que pour tout x de [a,b] on a fof(x) x .
En utilisant l'idée de carpediem avec g(x) = f(x) -x , la fonction g ne s'annule pas sur [a,b] ; donc elle n'y change pas de signe.

1er cas) g(x) > 0 sur [a,b].
Pour tout x de [a,b] on a f(x) > x .
Poser y = f(x) et utiliser la seconde donné pour en déduire f(y) > y , puis fof(x) > x .

2nd cas) g(x) < 0 sur [a,b].
Pas plus difficile.