Un essai :

Si r et s sont les rangs de A et B, il existe P,Q,P',Q' tq
A = P*I_r*Q
B = P'*I_s*Q'
(I_r = matrice diag avec r '1')

AXB = 0 revient à I_r*Q*X*P'*I_s = 0
On prend X tq Q*X*P'= I
Ca donne I_r*I_s = 0 et donc r ou s nul ie A ou B nulle.

Merci pour ta proposition. Ce qui me pose problème, c'est l'existence du X tel que Q*X*P'= In. Et je ne comprends pas où  sont passés le P et le Q' dans l'équation. Par ailleurs je suppose que tu parlais plutot de Jr et Js, au lieu de Ir et Is.

Quelqu'un peut-il infirmer ou confirmer les deux solutions?

Q et P' sont inversibles tu peux prendre X = Q^{-1} * P'^{-1}

I_s ou J_s .... je sais pas s'il y a une notation standard

Juste pour clarifier

I_s (= J_s) est la matrice diagonale nxn avec r '1' et n-r '0' sur la diagonale

Oui tout à fait, c'est bien ce que je pensais. Mais il me reste un dernier souci : pour moi, on obtient non pas Jr * Js=0

mais P * Jr * Js *Q' =0   (à moins que l'on puisse simplifier puisque P et Q' sont de rang n).

Merci d'avance.

P.S. Si quelqu'un pouvait me dire si ma solution est juste ce serait super sympa.

Bonjour

Le passage par la densité est correct si K est le corps des réels ou celui des complexes. Pour un corps K quelconque, ça n'a aucun sens.

Merci Camélia. Ce n'est pas précisé explicitement dans l'exo, mais je pense que c'est effectivement R ou C.

Dans le cas d'un corps quelconque, il suffit d'appliquer la méthode de ThSQ.

Merci pour toutes vos réponses. Bonne journée.

Par contraposée , supposons et non nulles et soit et dans tels que ,
en considérant la matrice élémentaire on a _{(sauf erreur)}

Bonne année elhor!

Happy new year Camélia

>>Oui tout à fait, c'est bien ce que je pensais. Mais il me reste un dernier souci : pour moi, on obtient non pas Jr * Js=0

>>mais P * Jr * Js *Q' =0   (à moins que l'on puisse simplifier puisque P et Q' sont de rang n).

Comme P et Q' sont inversibles on peut sans problème "simplifier"