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Exercice système
Dims21000
Bonjour !
Je suis actuellement penché sur la résolution d'un exercice que je n'arrive pas à résoudre...
L'énoncé est le suivant :
On considère le système homogène 3×3 suivant :
(1−m)x+ 2y−z = 0
−2x−(3 +m)y+ 3z = 0
x+y−(2 +m)z = 0.
Où m désigne un paramètre réel. Résoudre, dans IR3, ce système selon les valeurs du paramètre m.
L'énoncé vous paraîtra sûrement trivial, et la manière de le résoudre l'est sûrement tout autant... Mais je bloque complètement.
J'ai essayé plusieurs méthodes, notamment poser le système sous la forme d'une matrice A (avec les coefficients devant x, y et z), B (avec les résultats : 0, 0 et 0) et X (avec x, y et z) :
AX = B <=> X = A-1B
Je me suis donc attelé à calculer la matrice A-1 avec la règle de Sarrus, mais le résultat me semble bien trop complexe pour la question posée.
J'ai également essayé d'effectuer des combinaisons linéaires, mais "m" me perturbe et étrangement, je n'arrive pas à aller au bout de la démarche.
0 semble être une solution évidente du système, mais comment faire pour trouver les autres ?
Je vous remercie par avance si vous pouvez m'aider, et m'indiquer quelle méthode vous semble la plus efficace pour résoudre le système !
bonjour
effectivement, il a toujours au moins une solution.
et si on calculait le déterminant de ta matrice A du système ? 
Tout d'abord, merci pour votre réponse !
Ma matrice A est la suivante :
1-m 2 -1
-2 -3-m 3
1 1 -2-m
Pour calculer le déterminant, j'ai utilisé la règle de Sarrus (car nous sommes dans le cas d'une matrice 3x3). Dans ce cas, je trouve :
det(A) = (1-m)(-3-m)(2+m) + 6 + 2 - 3 - m - 8 - 4m - 3 + 3m
= m3 + 4m2 - m - 12
Oups... Mea culpa, je viens de me rendre compte d'une erreur dans mon calcul :
j'ai multiplié par (2+m) au lieu de (-2-m)...
Je trouve finalement que det(A) = -m3 -4m2 -3m
Mais je ne suis pas suffisamment à l'aise avec les matrices pour savoir quoi faire après avoir calculé le déterminant... Dans mon cours, nous avons juste noté la manière de calculer le déterminant, sans préciser son utilité.
Rebonjour,
Après des recherches sur Internet, j'ai trouvé que l'inverse de A pouvait être donné par la transposée de la comatrice de A, à laquelle on multiplie l'inverse du déterminant :
A-1 = tcom(A) [1/det(A)]
avec det(A) = -m3 - 4m2 - 3m
(J'imagine qu'il faut définir que le déterminant est non nul.)
et tcom(A) = m2+5m+3 2m+3 3-m
-2m-1 m2+m-1 3m-1
m+1 m+1 m2+2m+1
J'obtiens la matrice A-1 à laquelle je multiplie la matrice B.
B = 0
0
0
Le résultat vient assez simplement :
X = 0
0
0
D'où x = y = z = 0.
... Mais y a-t-il moyen de trouver d'autres solutions ? L'énoncé nous demande de trouver les solutions en fonction de m, alors mon résultat me laisse un peu perplexe...
S'il est possible d'en trouver d'autres, quelles étapes ai-je manquées ?
Merci d'avance à ceux qui répondront !
Bonjour,
Tu t'embarques dans des histoires pas possibles : quand le déterminant est nul, il n'y a pas d'inverse.
Si la matrice du système est inversible, il y a une seule solution : la solution nulle. Il reste à étudier ce qui se passe quand le déterminant est nul.
Par ailleurs, on peut très bien s'en tirer ici par la méthode du pivot de Gauss, en choisissant bien ses pivots. Pour le premier pivot, j'ai pris le coefficient 1 de x dans la troisième équation, qui permet sans peine d'éliminer x des deux premières.
Merci pour votre réponse !
C'est vrai que j'ai un peu de mal à voir où aller...
Le déterminant est nul pour :
m = -3 ;
m = -1 et
m = 0
Donc si j'ai bien compris : il suffit juste de remplacer m dans les matrices par l'une de ces trois valeurs, et d'appliquer la méthode du pivot de Gauss pour chacune de ces valeurs ?
En tout cas, je vous remercie pour vos pistes, je vais tenter la méthode du pivot en démarrant comme vous le suggérez !
Je reviens vers vous pour vous dire où j'en suis.
Je crois que j'ai compris la méthode : ça m'a pris du temps de bien tout assimiler normalement je serai en mesure de savoir refaire un exercice de ce type ! Au fond, ce n'est pas si compliqué
Voilà mes résultats :
- Si le déterminant est non nul :
Le système admet un couple solution unique. Ici, c'est évident, on trouve x = y = z = 0
- Si le déterminant est nul :
Alors m peut prendre trois valeurs : -3 ; -1 et 0. Il existe donc trois couples solutions pour ce système. Je vous passe les détails des calculs, mais j'ai fait des combinaisons linéaires avec les équations du système.
Pour m = -3 :
x = 3/2 z
y = -5/2 z
z appartenant à IR
Pour m = -1 :
x = -y
z = 0
y appartenant à IR
Pour m = 0 :
x = 3 z
y = -z
z appartenant à IR
Donc normalement, si je ne me suis pas trompé, notre système est bien résolu dans IR3 en fonction des valeurs de m !
Je n'avais pas du tout saisi l'importance du déterminant pour résoudre ce problème, mais j'y penserai les prochaines fois.
En tout cas, GBZM et Matheuxmatou, je vous remercie grandement d'avoir pris sur votre temps pour m'aider ! Bonne soirée à vous
(j'ai parlé de déterminant car tu abordais cela sous forme matricielle avec une éventuelle inverse... mais la méthode du pivot marche très bien aussi)
un petit bug dans le latex de GBZM que j'ai corrigé ...
Sans déterminant :
En utilisant le premier pivot que j'ai indiqué, on passe au système équivalent
Bonsoir
quelques remarques :
- Si le déterminant est non nul :
Le système admet un couple solution unique. Ici, c'est évident, on trouve x = y = z = 0
un couple (x,y) auquel on rajoute un amant z, en maths ça s'appelle un triplet
- Si le déterminant est nul :
Alors m peut prendre trois valeurs : -3 ; -1 et 0. Il existe donc trois couples solutions pour ce système. Je vous passe les détails des calculs, mais j'ai fait des combinaisons linéaires avec les équations du système.
non, il n'existe pas trois triplets solutions pour ce système
déjà il n'y a pas un système, mais autant de systèmes que de valeurs de m
ensuite, pour chacun des systèmes correspondant aux trois valeurs de m que tu as énumérées, il n'y a pas un triplet, mais une infinité de triplets solutions
Sans déterminant :
En utilisant le premier pivot que j'ai indiqué, on passe au système équivalent
et en additionnant la deuxième ligne à la troisième
Il reste à discuter ensuite les cas ,
et
.
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