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Exercice théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
Leoniedeville
13-05-21 à 19:48

Bonsoir j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant:
Nous avons f la fonction définie sur R par: f(x) = 7/2-1/2 (ex+e-x)

a) Quelle est la limite de f en +.
b) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur [0;+[
c) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur [0;+[
d)Justifier que f est paire puis en déduire que l'équation f(x)=0 admet exactement 2 solutions dans R et qu'elles sont opposées.

Réponses:

a)f(x) = 7/2-1/2(ex+e-x)
Où •limx—>+7/2=7/2
      • lim x—>+ (1/2*(ex+e-x) = +

Alors limx—>+7/2-1/2 (ex+e-x)= -

b) On a   a=3 et b=10
Où f(3)=7/2-1/2(e3+e-3)~-6,57
f(10) = 7/2-1/2 (e10+e-10)~-11010
Ici f(3)>f(10), donc la fonction est décroissante.

c)Il faut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires mais je ne sais pas trop comment...

*D'après la calculatrice f(x) à l'allure d'une fonction polynôme, donc la fonction est continue sur [0:+[

*Stricte monotonie: f(x)= 7/2-1/2 (ex+e-x)
donc f'(x) = - ex/2 + 1/2ex
Où -ex/2<0 —> xR
1/2ex<0-> x
Donc la fonction est strictement décroissante sur [0;+[

Donc la fonction admet une unique solution sur [0;+[

d) f(x)=7/2-1/2 (ex+e-x)
Donc f(-x)= 7/2-1/2 (e-x+e-(-x)
=7/2-1/2 (ex+e-x)= f(x)

Donc f(-x)= f(x)
f est une fonction paire

Pour les 2 solutions je ne sais pas comment faire...

Merci beaucoup si vous m'aidez, bonne soirée

Posté par
hekla
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 13-05-21 à 19:57

Bonsoir  

Un cas particulier ne suffit pas


En général pour le sens de variation, c'est dérivée, signe de la dérivée  et sens de variation

Quel est le TVI ?

Il manque une condition pour que f soit paire

Pour tout x\inD_f, \ -x\in D_f $et $ f(-x)=f(x)

Posté par
verdurin
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 13-05-21 à 20:04

Bonsoir,
ta « justification » de la stricte décroissance est fausse car le calcul de la dérivée de f comporte au moins une erreur.
De plus l'exemple f(3)>f(10) est inutile.

Pour l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires :
      la fonction est dérivable donc continue ( je ne connais  plus les programmes )
      on a f(0)=7/2>0 et f(3)<0 (tu l'as calculé).
Il y a donc une unique solution entre 0 et 3 car f est strictement décroissante entre 0 et 3.

Il n'y en a pas d'autres sur [0;+[ parce que x>3 entraîne  f(x)<f(3)<0.

Posté par
Leoniedeville
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 14-05-21 à 12:59

Bonjour, merci pour vos réponses, voici ce que j?ai fais pour l?instant :

b) f(x)= 7/2-1/2(ex+e-x)
Donc f?(x)= 1/2*(-ex-e-x*(-1))
=1/2*(-ex+e-x)
Où f?(0)=0

Nous avons donc le tableau de variations suivant sur image




Donc la fonction est strictement décroissante sur [0:+[


c)Réponse finale :  
*La fonction est dérivable, donc elle est continue
*On déduit une stricte monotonie
*f(3)=-6,57 et f(0)=2,5 , nous avons donc un changement de signe

Pour conclure, il y a  donc une unique solution entre 0 et 3 car f est strictement décroissante entre 0 et 3. Il n?y en a pas d?autres sur [0;+[ parce que x>3 entraîne f(x)<f(3)<0.

d) f(x)= 7/2-1/2 (ex+e-x)
Donc f(-x)= 7/2-1/2 (e-x+e-(-x)
=7/2-1/2 (e-x+ex)
=7/2-1/2 (ex+e-x) = f(x)

Donc f(-x)=f(x)
Alors f est une fonction paire. On précise que xf, -x Df.

Pour les 2 solutions je ne sais toujours pas .... Effet *symétrique* avec f(-x)=f(x) avec une solution entre 0 et 3 , et une solution entre 0 et -3 ?

Merci pour votre aide, bonne journée et bon courage.

Exercice théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
hekla
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 14-05-21 à 13:20

Bonjour

pourquoi avoir intégré le signe - dans la parenthèse,

f'(x)=-\dfrac{1}{2}(\text{e}^x+\text{e}^{-x})

 f'(x) <0 comme produit d'un nombre strictement négatif et d'un nombre strictement positif

On vous demandait d'étudier uniquement  sur  [0~;~+\infty[  il n'y a pas lieu de considérer la partie négative

f est une fonction continue, car dérivable  strictement  décroissante sur \R_+

0\in [0~;~+\infty[ par conséquent il existe une unique valeur \alpha\in \R_+

telle que f(\alpha)=0


 \alpha étant la solution positive de l'équation f(x)=0

comme  f est paire on a donc f(-\alpha)=0 -\alpha est donc la solution négative de l'équation.

Il y a donc bien exactement  deux solutions opposées pour l'équation f(x)=0

Posté par
Leoniedeville
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 14-05-21 à 18:55

Bonsoir, d'accord, merci beaucoup de m'avoir aidé, à bientôt.

Posté par
Leoniedeville
Exercice intervalle 14-05-21 à 19:45

Bonsoir, j?ai besoin de votre aide pour l?exercice suivant:

Nous avons des serres en forme de tunnel qui sont utilisées pour la culture des plantes fragiles et sont construites à partir d?arceaux métalliques ancrés au sol et supportant une bâche en plastique.
Ici, nous avons un repère orthonormé d?unité 1 mètre, on modélise un arceau par la courbe C de la fonction f f(x)= 7/2-1/2 (ex+e-x) étudiée sur l?intervalle [-;]


Mes réponses (inspirées d?internet mais j?ai dû mal à comprendre leurs raisonnements parfois...):

a) Dans le graphique on prend f(0) = 2,5 m

b) f?(x)= -1/2 (ex-e-x)
Donc (f?(x))2= 1/4 (ex-e-x)2
Donc (f?(x))2= 1/4 (e2x-2+e-2x)
Donc 1+ (f?(x))2= 1+1/4(e2x-2+e-2x)
Alors 1+1/4 (e2x-2+e-2x)= 4/4 + e2x-2+e-2x/4
Alors 4+(e2x-2+e-2x)/4 = 1/4 (ex+e-x)2

c) On a 1+ (f?(x))2= 1/4 (ex+e-x)2
Alors 1+(f?(x))2= (ex+e-x)2/4
Donc 1+(f?(x))2= ex+e-x/2

On note ex+e-x/2 = g(x)

Pour le reste je ne comprends pas vraiment ce qu?il faut faire.... Merci beaucoup si quelqu?un me donne une piste explicite. Bonne soirée .

** image doublon supprimée **

Exercice intervalle

*** message déplacé ***

Posté par
Pirho
re : Exercice intervalle 14-05-21 à 19:57

Bonjour,

donne nous l'énoncé complet

il n'y a aucune question!!

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Exercice intervalle 14-05-21 à 19:59

bonjour,

ton énoncé est incomplet : il n'y  a aucune question.. et puis, ça n'est pas le premier topic que tu ouvres avec cette même fonction..
Tu as eu de l'aide déjà...
Ou en es tu exactement ?

*** message déplacé ***

Posté par
Pirho
re : Exercice intervalle 14-05-21 à 20:01

Bonjour Leile

je vous laisse

*** message déplacé ***

Posté par
hekla
re : Exercice intervalle 14-05-21 à 20:04

Bonsoir

Vous auriez dû rester aussi sur votre précédent sujet. C'est bien le même sujet.

Exercice théorème des valeurs intermédiaires

On y a la signification des \alpha

On a bien f(0)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}(1+1)=\dfrac{5}{2}=2,5

Bonsoir Pirho  je vous laisse poursuivre

*** message déplacé ***

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 14-05-21 à 20:35

Bonsoir Leoniedeville,
le multi-post n'est pas toléré sur l'

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
Leile
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 14-05-21 à 20:52

je m'éclipse. Bonne soirée à tous.

Posté par
Leoniedeville
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 15-05-21 à 21:14

Bonsoir, en effet excusez-moi....   Je vous mets ici les questions :

a) Calculez la hauteur d'un arceau
b) On avoue que la longueur de la courbe C sur l'intervalle [0;] est donnée, en mètres par : I= 0 1+(f'(x))2dx. Montrer que pour tout réel x que 1+(f'(x))2= 1/4 (ex+ e-x)2
c) Calculer I en fonction de
d) Justifier que la longueur d'un arceau, en mètre, est égale à e-e-.


La seule aide que j'ai eu est une correction sur internet, mais je travaille  avec pour essayer de comprendre le raisonnement qu'il faut adapter... Je ne comprends pas comment raisonner pour répondre à la question 2.  

Merci pour votre aide. Je m'excuse pour mon infraction sur ce site

Posté par
hekla
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 16-05-21 à 01:44

Bonjour

la hauteur maximale est obtenue pour 0  avant la fonction est croissante ensuite elle est décroissante on a vu que f(0)=5/2  

Il n'y a pas de problème pour montrer que 1+(f'(x))^2 =1+\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right)^2 vu que f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right)

I=\int_0^{alpha}\sqrt{1+f'(x)^2}

Commencez par simplifier

Posté par
Leoniedeville
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 16-05-21 à 17:52

Bonjour, merci pour votre aide. C'est bon j'ai réussi l'entièreté de l'exercice grâce à vous. Bonne journée  

Posté par
hekla
re : Exercice théorème des valeurs intermédiaires 16-05-21 à 17:56

C'est bien alors Bon courage pour la rédaction

De rien
Bonne soirée



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